数学 - 代数学 - 整数 - 素数、素因数分解(素数であるための必要条件、Mersenne数(メルセンヌ数))

代数系入門

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  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(整数)、5(素数、素因数分解)、問題8.を取り組んでみる。

8. 
   

   e が素数でないと仮定する。

   d を1ではない e の真の約数とし、

   $e=kd$

   とおく。

   このとき、

   $\begin{array}{}{2}^e-1\\ =2^{kd}-1\\ =\left(2^d-1\right)\left(1+2^d+2^{2d}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+2^{\left(k-1\right)d}\right)\end{array}$

   となり、

   $2^e-1$

   は

   $2^d-1\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->1,2^d-1\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->2^e-1$

   で割り切れる。

   これは、問題の仮定の

   $2^e-1$

   は素数であるということと矛盾する。

   よって、 e は素数である。