数学 - Python - もう１つの数学の基盤 - 行列と行列式 – 連立1次方程式と行列式 - n = 3 の場合(行列式、各行と列の加法、スカラー倍、線形性)

数学読本〈5〉

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  • Pythonからはじめる数学入門
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数学読本〈5〉微分法の応用/積分法/積分法の応用/行列と行列式(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第21章(もう１つの数学の基盤 - 行列と行列式)、21.3(連立1次方程式と行列式)、n = 3 の場合、問35.を取り組んでみる。

35. 6. 
       
       $\begin{array}{}\det \left(\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{a},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{p},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{c}\right)\\ =\det \left(\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{a},x\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{a}+y\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{b}+z\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{c},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{c}\right)\\ =x\det \left(\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{a},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{a},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{c}\right)+y\det \left(\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{a},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{b},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{c}\right)+z\det \left(\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{a},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{c},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{c}\right)\\ =y\det \left(\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{a},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{b},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{c}\right)\end{array}$
    7. 
       
       $\begin{array}{}\det \left(\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{a},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{b},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{p}\right)\\ =\det \left(\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{a},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{b},x\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{a}+y\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{b}+z\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{c}\right)\\ =x\det \left(\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{a},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{b},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{a}\right)+y\det \left(\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{a},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{b},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{b}\right)+z\det \left(\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{a},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{b},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{c}\right)\\ =z\det \left(\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{a},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{b},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{c}\right)\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix

x, y, z = symbols('x, y, z')
a = Matrix(symbols('a1, a2, a3')).reshape(3, 1)
b = Matrix(symbols('b1, b2, b3')).reshape(3, 1)
c = Matrix(symbols('c1, c2, c3')).reshape(3, 1)
p = x * a + y * b + z * c

A = Matrix([[q[i] for q in [a, b, c]]
            for i in range(3)])

DA = A.det()
X1 = Matrix([[q[i] for q in [a, p, c]]
             for i in range(3)])

DX1 = X1.det()
X2 = Matrix([[q[i] for q in [a, b, p]]
             for i in range(3)])
DX2 = X2.det()

for t in [A, DA, X1, DX1, X2, DX2,
          DX1.expand() == (y * DA).expand(),
          DX2.expand() == (z * DA).expand()]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample35.py
⎡a₁  b₁  c₁⎤
⎢          ⎥
⎢a₂  b₂  c₂⎥
⎢          ⎥
⎣a₃  b₃  c₃⎦

a₁⋅b₂⋅c₃ - a₁⋅b₃⋅c₂ - a₂⋅b₁⋅c₃ + a₂⋅b₃⋅c₁ + a₃⋅b₁⋅c₂ - a₃⋅b₂⋅c₁

⎡a₁  a₁⋅x + b₁⋅y + c₁⋅z  c₁⎤
⎢                          ⎥
⎢a₂  a₂⋅x + b₂⋅y + c₂⋅z  c₂⎥
⎢                          ⎥
⎣a₃  a₃⋅x + b₃⋅y + c₃⋅z  c₃⎦

-a₁⋅c₂⋅(a₃⋅x + b₃⋅y + c₃⋅z) + a₁⋅c₃⋅(a₂⋅x + b₂⋅y + c₂⋅z) + a₂⋅c₁⋅(a₃⋅x + b₃⋅y 
+ c₃⋅z) - a₂⋅c₃⋅(a₁⋅x + b₁⋅y + c₁⋅z) - a₃⋅c₁⋅(a₂⋅x + b₂⋅y + c₂⋅z) + a₃⋅c₂⋅(a₁⋅
x + b₁⋅y + c₁⋅z)

⎡a₁  b₁  a₁⋅x + b₁⋅y + c₁⋅z⎤
⎢                          ⎥
⎢a₂  b₂  a₂⋅x + b₂⋅y + c₂⋅z⎥
⎢                          ⎥
⎣a₃  b₃  a₃⋅x + b₃⋅y + c₃⋅z⎦

a₁⋅b₂⋅(a₃⋅x + b₃⋅y + c₃⋅z) - a₁⋅b₃⋅(a₂⋅x + b₂⋅y + c₂⋅z) - a₂⋅b₁⋅(a₃⋅x + b₃⋅y +
 c₃⋅z) + a₂⋅b₃⋅(a₁⋅x + b₁⋅y + c₁⋅z) + a₃⋅b₁⋅(a₂⋅x + b₂⋅y + c₂⋅z) - a₃⋅b₂⋅(a₁⋅x
 + b₁⋅y + c₁⋅z)

True

True

$