数学 - Python - もう１つの数学の基盤 - 行列と行列式 – 連立1次方程式と行列式 - n = 3 の場合(行列の積の行列式と行列式の積)

数学読本〈5〉

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  • Pythonからはじめる数学入門
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数学読本〈5〉微分法の応用/積分法/積分法の応用/行列と行列式(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第21章(もう１つの数学の基盤 - 行列と行列式)、21.3(連立1次方程式と行列式)、n = 3 の場合、問38.を取り組んでみる。

38. 
    
    $(\begin{array}{cc}aa\text{'}+bc\text{'}& ab\text{'}+bd\text{'}\\ ca\text{'}+dc\text{'}& cb\text{'}+dd\text{'}\end{array})=(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array})$
    $\begin{array}{}p=aa\text{'}+bc\text{'}\\ q=ab\text{'}+bd\text{'}\\ r=ca\text{'}+dc\text{'}\\ s=cb\text{'}+dd\text{'}\end{array}$
    $\begin{array}{}ps-qr\\ =\left(aa\text{'}+bc\text{'}\right)\left(cb\text{'}+dd\text{'}\right)-\left(ab\text{'}+bd\text{'}\right)\left(ca\text{'}+dc\text{'}\right)\\ =aca\text{'}b\text{'}+ada\text{'}d\text{'}+bcb\text{'}c\text{'}+bdc\text{'}d\text{'}-aca\text{'}b\text{'}-adb\text{'}c\text{'}-bca\text{'}d\text{'}-bdc\text{'}d\text{'}\\ =ada\text{'}d\text{'}+bcb\text{'}c\text{'}-adb\text{'}c\text{'}-bca\text{'}d\text{'}\end{array}$
    $\begin{array}{}\left(ad-bc\right)\left(a\text{'}d\text{'}-b\text{'}c\text{'}\right)\\ =ada\text{'}d\text{'}+bcb\text{'}c\text{'}-adb\text{'}c\text{'}-bca\text{'}d\text{'}\end{array}$

    よって、

    $ps-qr=\left(ad-bc\right)\left(a\text{'}d\text{'}-b\text{'}c\text{'}\right)$

    ゆえに

    $\det \left(AB\right)=\det A\det B$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, solve, Matrix

a1, b1, c1, d1, a2, b2, c2, d2, p, q, r, s = symbols(
    'a1, b1, c1, d1, a2, b2, c2, d2, p, q, r, s')

A = Matrix([[a1, b1],
            [c1, d1]])
B = Matrix([[a2, b2],
            [c2, d2]])
AB = A * B

for t in [A, B, AB]:
    for s in [t, t.det()]:
        pprint(s)
        print()
    print()

print(AB.det().expand() == (A.det() * B.det()).expand())

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample38.py
⎡a₁  b₁⎤
⎢      ⎥
⎣c₁  d₁⎦

a₁⋅d₁ - b₁⋅c₁


⎡a₂  b₂⎤
⎢      ⎥
⎣c₂  d₂⎦

a₂⋅d₂ - b₂⋅c₂


⎡a₁⋅a₂ + b₁⋅c₂  a₁⋅b₂ + b₁⋅d₂⎤
⎢                            ⎥
⎣a₂⋅c₁ + c₂⋅d₁  b₂⋅c₁ + d₁⋅d₂⎦

(a₁⋅a₂ + b₁⋅c₂)⋅(b₂⋅c₁ + d₁⋅d₂) - (a₁⋅b₂ + b₁⋅d₂)⋅(a₂⋅c₁ + c₂⋅d₁)


True
$