数学 - Python - もう１つの数学の基盤 - 行列と行列式 – 連立1次方程式と行列式 - n = 3 の場合(逆行列、右逆行列と左逆行列)

数学読本〈5〉

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ)
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

数学読本〈5〉微分法の応用/積分法/積分法の応用/行列と行列式(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第21章(もう１つの数学の基盤 - 行列と行列式)、21.3(連立1次方程式と行列式)、n = 3 の場合、問39.を取り組んでみる。

39. 1. 
       
       $\begin{array}{}AB=E\\ \det \left(AB\right)=\det E\\ \left(\det A\right)\left(\det B\right)=1\end{array}$

       よって

       $\det B\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0$
    2. 
       
       $B\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{x}=\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{p}$

       は解をもつ。

       すなわち

       $\begin{array}{}B\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{x}={\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{e}}_1\\ B\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{x}=\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{e_2}\\ B\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{x}={\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{e}}_3\end{array}$

       はいずれも解をもつ。

       その解をそれぞれ

       $\begin{array}{}B{\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{y}}_1={\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{e}}_1\\ B{\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{y}}_2=\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{e_2}\\ B{\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{y}}_3=\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{e_3}\end{array}$

       とする。

       このとき

       $B\left({\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{y}}_1,{\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{y}}_2,{\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{y}}_3\right)=\left(\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{e_1},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{e_2},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{e_3}\right)$

       すなわち

       $B\left({\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{y}}_1,{\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{y}}_2,{\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{y}}_3\right)=E$

       よって、

       $C=\left({\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{y}}_1,{\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{y}}_2,{\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{y}}_3\right)$

       すればいい。

    3. 
       
       $\begin{array}{}BA\\ =BAE\\ =\left(BA\right)\left(BC\right)\\ =B\left(AB\right)C\\ =BEC\\ =BC\\ =E\end{array}$

    (証明終)

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, MatrixSymbol

A = MatrixSymbol('A', 3, 3)
B = A ** -1

for t in [A, B, A * B, B * A]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample39.py
A

 -1
A  

I

I

$