数学 - Python - もう１つの数学の基盤 - 行列と行列式 – 行列式 - 2次の行列式の諸性質(列の入れ替えと符号、列の定数倍を加える、成分を用いた証明)

数学読本〈5〉

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

数学読本〈5〉微分法の応用/積分法/積分法の応用/行列と行列式(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第21章(もう１つの数学の基盤 - 行列と行列式)、21.2(行列式)、2次の行列式の諸性質、D4、D5.を取り組んでみる。

4. 
   
   $\begin{array}{}\det \left(\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{b},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{a}\right)\\ =|\begin{array}{cc}{b}_1& a_1\\ b_2& a_2\end{array}|\end{array}=b_1{a}_2-a_1{b}_2\\ =-\left(a_1{b}_2-b_1{a}_2\right)\\ =-|\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ a_2& b_2\end{array}|\\ =-\det \left(\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{a},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{b}\right)$
5. 
   
   $\begin{array}{}\det \left(\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{a}+k\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{b},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{b}\right)\\ =|\begin{array}{cc}{a}_1+k{b}_1& b_1\\ a_2+k{b}_2& b_2\end{array}|\end{array}=\left(a_1+k{b}_1\right)b_2-b_1\left(a_2+k{b}_2\right)\\ =a_1{b}_2+k{b}_1{b}_2-b_1{a}_2-k{b}_1{b}_2\\ =a_1{b}_2-b_1{a}_2\\ =|\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ a_2& b_2\end{array}|\\ =\det \left(\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{a},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{b}\right)$
   $\begin{array}{}\det \left(\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{a},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{b}+k\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{a}\right)\\ =|\begin{array}{cc}{a}_1& b_1+ka,\\ a_2& b_2+k{a}_2\end{array}|\end{array}=a_1\left(b_2+k{a}_2\right)-\left(b_1+k{a}_1\right)a_2\\ =a_1{b}_2+k{a}_1{a}_2-b_1{a}_2-k{a}_1{a}_2\\ =a_1{b}_2-b_1{a}_2\\ =|\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ a_2& b_2\end{array}|\\ =\det \left(\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{a},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{b}\right)$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix

print('D4')
a1, a2, b1, b2, k = symbols('a1, a2, b1, b2, k')

X = Matrix([[a1, b1],
            [a2, b2]])
Y = Matrix([[b1, a1],
            [b2, a2]])

for t in [X, Y, Y.det(), Y.det() == -X.det()]:
    pprint(t)
    print()

print('D5')
X = Matrix([[a1 + k * b1, b1],
            [a2 + k * b2, b2]])
Y = Matrix([[a1, b1],
            [a2, b2]])

for t in [X, Y, X.det(), X.det().factor() == Y.det().factor()]:
    pprint(t)
    print()

X = Matrix([[a1, b1 + k * a1],
            [a2, b2 + k * a2]])
Y = Matrix([[a1, b1],
            [a2, b2]])

for t in [X, Y, X.det(), X.det().factor() == Y.det().factor()]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample0.py
D4
⎡a₁  b₁⎤
⎢      ⎥
⎣a₂  b₂⎦

⎡b₁  a₁⎤
⎢      ⎥
⎣b₂  a₂⎦

-a₁⋅b₂ + a₂⋅b₁

True

D5
⎡a₁ + b₁⋅k  b₁⎤
⎢             ⎥
⎣a₂ + b₂⋅k  b₂⎦

⎡a₁  b₁⎤
⎢      ⎥
⎣a₂  b₂⎦

-b₁⋅(a₂ + b₂⋅k) + b₂⋅(a₁ + b₁⋅k)

True

⎡a₁  a₁⋅k + b₁⎤
⎢             ⎥
⎣a₂  a₂⋅k + b₂⎦

⎡a₁  b₁⎤
⎢      ⎥
⎣a₂  b₂⎦

a₁⋅(a₂⋅k + b₂) - a₂⋅(a₁⋅k + b₁)

True

$