数学 - Python - もう１つの数学の基盤 - 行列と行列式 – 行列式 - 2次の行列式の諸性質(列の入れ替えと符号、列の定数倍を加える、成分を用いた証明)

学習環境

Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプカバー、Surface ペン(端末)
Windows 10 Pro (OS)
Nebo(Windows アプリ)
iPad Pro + Apple Pencil
MyScript Nebo(iPad アプリ)
参考書籍

数学読本〈5〉微分法の応用/積分法/積分法の応用/行列と行列式(松坂和夫(著)、岩波書店)の第21章(もう１つの数学の基盤 - 行列と行列式)、21.2(行列式)、2次の行列式の諸性質、D4、D5.を取り組んでみる。

$\begin{array}{l} \det (\vec{b}, \vec{a}) \\ = | \begin{matrix} b_{1} & a_{1} \\ b_{2} & a_{2} \end{matrix} | \end{array} = b_{1} a_{2} - a_{1} b_{2} = - (a_{1} b_{2} - b_{1} a_{2}) = - | \begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix} | = - \det (\vec{a}, \vec{b})$
$\begin{array}{l} \det (\vec{a} + k \vec{b}, \vec{b}) \\ = | \begin{matrix} a_{1} + k b_{1} & b_{1} \\ a_{2} + k b_{2} & b_{2} \end{matrix} | \end{array} = (a_{1} + k b_{1}) b_{2} - b_{1} (a_{2} + k b_{2}) = a_{1} b_{2} + k b_{1} b_{2} - b_{1} a_{2} - k b_{1} b_{2} = a_{1} b_{2} - b_{1} a_{2} = | \begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix} | = \det (\vec{a}, \vec{b})$

$\begin{array}{l} \det (\vec{a}, \vec{b} + k \vec{a}) \\ = | \begin{matrix} a_{1} & b_{1} + k a, \\ a_{2} & b_{2} + k a_{2} \end{matrix} | \end{array} = a_{1} (b_{2} + k a_{2}) - (b_{1} + k a_{1}) a_{2} = a_{1} b_{2} + k a_{1} a_{2} - b_{1} a_{2} - k a_{1} a_{2} = a_{1} b_{2} - b_{1} a_{2} = | \begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix} | = \det (\vec{a}, \vec{b})$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix

print('D4')
a1, a2, b1, b2, k = symbols('a1, a2, b1, b2, k')

X = Matrix([[a1, b1],
            [a2, b2]])
Y = Matrix([[b1, a1],
            [b2, a2]])

for t in [X, Y, Y.det(), Y.det() == -X.det()]:
    pprint(t)
    print()

print('D5')
X = Matrix([[a1 + k * b1, b1],
            [a2 + k * b2, b2]])
Y = Matrix([[a1, b1],
            [a2, b2]])

for t in [X, Y, X.det(), X.det().factor() == Y.det().factor()]:
    pprint(t)
    print()

X = Matrix([[a1, b1 + k * a1],
            [a2, b2 + k * a2]])
Y = Matrix([[a1, b1],
            [a2, b2]])

for t in [X, Y, X.det(), X.det().factor() == Y.det().factor()]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample0.py
D4
⎡a₁  b₁⎤
⎢      ⎥
⎣a₂  b₂⎦

⎡b₁  a₁⎤
⎢      ⎥
⎣b₂  a₂⎦

-a₁⋅b₂ + a₂⋅b₁

True

D5
⎡a₁ + b₁⋅k  b₁⎤
⎢             ⎥
⎣a₂ + b₂⋅k  b₂⎦

⎡a₁  b₁⎤
⎢      ⎥
⎣a₂  b₂⎦

-b₁⋅(a₂ + b₂⋅k) + b₂⋅(a₁ + b₁⋅k)

True

⎡a₁  a₁⋅k + b₁⎤
⎢             ⎥
⎣a₂  a₂⋅k + b₂⎦

⎡a₁  b₁⎤
⎢      ⎥
⎣a₂  b₂⎦

a₁⋅(a₂⋅k + b₂) - a₂⋅(a₁⋅k + b₁)

True

$

Kamimura's blog

2017年12月6日水曜日

数学 - Python - もう１つの数学の基盤 - 行列と行列式 – 行列式 - 2次の行列式の諸性質(列の入れ替えと符号、列の定数倍を加える、成分を用いた証明)

0 コメント:

コメントを投稿