数学 - Python - もう１つの数学の基盤 - 行列と行列式 – 行列式と面積・体積 - 3次の行列式と体積(空間内のの4点が同一平面乘にあるための必要十分条件、3つのベクトルで張られる平行六面体の体積)

数学読本〈5〉

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  • Pythonからはじめる数学入門
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数学読本〈5〉微分法の応用/積分法/積分法の応用/行列と行列式(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第21章(もう１つの数学の基盤 - 行列と行列式)、21.4(行列式と面積・体積)、3次の行列式と体積、問43.を取り組んでみる。

43. 
    

    3つのベクトル

    $\left(x_i-x_1,y_i-y_1,z_i-z_1\right)\left(i=2,3,4\right)$

    で張られる平行六面体の体積は、4点が同一平面上にあるとき0になる。
    すなわち、

    $\det (\begin{array}{ccc}{x}_2-x_1& y_2-y_1& z_2-z_1\\ x_3-x_1& y_3-y_1& z_3-z_1\\ x_4-x_1& y_4-y_1& z_4-z_1\end{array})=0$

    問題の等式の左辺の行列式を変形する。

    $\begin{array}{}\det (\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ x_1& x_2-x_1& x_3-x_1& x_4-x_1\\ y_1& y_2-y_1& y_3-y_1& y_4-y_1\\ z_1& z_2-z_1& z_3-z_1& z_4-z_1\end{array})\end{array}=\det (\begin{array}{ccc}{x}_2-x_1& x_3-x_1& x_4-x_1\\ y_2-y_1& y_3-y_1& y_4-y_1\\ z_2-z_1& z_3-z_1& z_4-z_1\end{array})$

    よって必要十分条件である。

    （証明終）

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Triangle, Point2D, Matrix

m = Matrix([[1, 1, 1, 1],
            [0, 1, 1, 2],
            [0, 1, 2, 2],
            [2, 2, 2, 2]])

pprint(abs(m.det()))

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample43.py
0
$

HTML5

<pre id="output0"></pre>
<br>
(<input id="x1" type="number" value="0">,
<input id="y1" type="number" value="0">,
<input id="z1" type="number" value="2">)
<br>
(<input id="x2" type="number" value="1">,
<input id="y2" type="number" value="1">,
<input id="z2" type="number" value="2">)
<br>
(<input id="x3" type="number" value="1">,
<input id="y3" type="number" value="2">,
<input id="z3" type="number" value="2">)
<br>
(<input id="x4" type="number" value="2">,
<input id="y4" type="number" value="2">,
<input id="z4" type="number" value="2">)
<br>
<button id="run0">run</button>
<button id="clear0">clear</button>

<script src="sample43.js"></script>

JavaScript

let pre0 = document.querySelector('#output0'),
    btn0 = document.querySelector('#run0'),
    btn1 = document.querySelector('#clear0'),
    input_x1 = document.querySelector('#x1'),
    input_y1 = document.querySelector('#y1'),
    input_z1 = document.querySelector('#z1'),
    input_x2 = document.querySelector('#x2'),
    input_y2 = document.querySelector('#y2'),
    input_z2 = document.querySelector('#z2'),
    input_x3 = document.querySelector('#x3'),
    input_y3 = document.querySelector('#y3'),
    input_z3 = document.querySelector('#z3'),
    input_x4 = document.querySelector('#x4'),
    input_y4 = document.querySelector('#y4'),
    input_z4 = document.querySelector('#z4'),
    inputs = [input_x1, input_y1, input_z1,
              input_x2, input_y2, input_z2,
              input_x3, input_y3, input_z3],
    p = (x) => pre0.textContent += x + '\n';

let det = (x1, y1, z1, x2, y2, z2, x3, y3, z3, x4, y4, z4) =>
    (x2 - x1) * (y3 - y1) * (z4 - z1) +
    (z2 - z1) * (x3 - x1) * (y4 - y1) +
    (z3 - z1) * (y2 - y1) * (x4 - x1) -
    (x2 - x1) * (z3 - z1) * (y4 - y1) -
    (x3 - x1) * (y2 - y1) * (z4 - z1) -
    (z2 - z1) * (y3 - y1) * (x4 - x1);

let output = () => {
    let x1 = parseFloat(input_x1.value),
        y1 = parseFloat(input_y1.value),
        z1 = parseFloat(input_z1.value),
        x2 = parseFloat(input_x2.value),
        y2 = parseFloat(input_y2.value),
        z2 = parseFloat(input_z2.value),
        x3 = parseFloat(input_x3.value),
        y3 = parseFloat(input_y3.value),
        z3 = parseFloat(input_z3.value),
        x4 = parseFloat(input_x4.value),
        y4 = parseFloat(input_y4.value),
        z4 = parseFloat(input_z4.value);

    p(det(x1, y1, z1, x2, y2, z2, x3, y3, z3, x4, y4, z4));
};

inputs.forEach((input) => input.onchange = output);
btn0.onclick = output;
btn1.onclick = () => pre0.textContent = '';
output()

(, , )
(, , )
(, , )
(, , )