数学 - Python - もう１つの数学の基盤 - 行列と行列式 – 行列式 - 3次の行列式の諸性質(スラカラー倍)

数学読本〈5〉

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数学読本〈5〉微分法の応用/積分法/積分法の応用/行列と行列式(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第21章(もう１つの数学の基盤 - 行列と行列式)、21.2(行列式)、3次の行列式の諸性質、問30.を取り組んでみる。

30. 
    

    3次の行列 A を、

    $A=(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array})$

    とおく。

    このとき、

    $\begin{array}{}\det \left(kA\right)\\ =|\begin{array}{ccc}k{a}_{11}& k{a}_{12}& k{a}_{13}\\ k{a}_{21}& k{a}_{22}& k{a}_{23}\\ k{a}_{31}& k{a}_{32}& k{a}_{33}\end{array}|\end{array}=k{a}_{11}\left(k^2{a}_{22}{a}_{23}-k^2{a}_{23}{a}_{32}\right)-k{a}_{12}\left(k^2{a}_{21}{a}_{33}-k^2{a}_{23}{a}_{32}\right)\\ +k{a}_{13}\left(k^2{a}_{21}{a}_{32}-k^2{a}_{22}{a}_{31}\right)\\ =k^3\left(a_{11}\left(a_{22}{a}_{23}-a_{23}{a}_{32}\right)-a_{12}\left(a_{21}{a}_{33}-a_{23}{a}_{32}\right)+a_{13}\left(a_{21}{a}_{32}-a_{22}{a}_{31}\right)\right)\\ =k^3\det A$

    よって、

    $\det \left(kA\right)=k^3\det A$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix

k = symbols('k')
A = Matrix([[symbols(f'a{i}{j}')for j in range(3)]
            for i in range(3)])

X1 = (k * A).det()
X2 = k ** 3 * A.det()
for t in [A, X1, X2, X1.expand() == X2.expand()]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample30.py
⎡a₀₀  a₀₁  a₀₂⎤
⎢             ⎥
⎢a₁₀  a₁₁  a₁₂⎥
⎢             ⎥
⎣a₂₀  a₂₁  a₂₂⎦

             3                3                3                3             
a₀₀⋅a₁₁⋅a₂₂⋅k  - a₀₀⋅a₁₂⋅a₂₁⋅k  - a₀₁⋅a₁₀⋅a₂₂⋅k  + a₀₁⋅a₁₂⋅a₂₀⋅k  + a₀₂⋅a₁₀⋅a₂

   3                3
₁⋅k  - a₀₂⋅a₁₁⋅a₂₀⋅k 

 3                                                                            
k ⋅(a₀₀⋅a₁₁⋅a₂₂ - a₀₀⋅a₁₂⋅a₂₁ - a₀₁⋅a₁₀⋅a₂₂ + a₀₁⋅a₁₂⋅a₂₀ + a₀₂⋅a₁₀⋅a₂₁ - a₀₂⋅

        
a₁₁⋅a₂₀)

True

$