数学 - Python - もう１つの数学の基盤 - 行列と行列式 – 行列式 - 3次の行列式の諸性質(列の入れ替え、符号、各列、加法、線形性)

数学読本〈5〉

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  • Pythonからはじめる数学入門
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数学読本〈5〉微分法の応用/積分法/積分法の応用/行列と行列式(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第21章(もう１つの数学の基盤 - 行列と行列式)、21.2(行列式)、3次の行列式の諸性質、問33.を取り組んでみる。

33. 
    
    $\begin{array}{}\det \left(\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{b},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{c},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{a}\right)\\ =-\det \left(\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{c},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{h},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{a}\right)\\ =\det \left(\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{a},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{b},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{c}\right)\\ =D\end{array}$
34. 
    
    $\begin{array}{}\det \left(\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{a}+\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{b},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{b}+\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{c},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{c}+\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{a}\right)\\ =\det \left(\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{a},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{b}+\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{c},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{c}+\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{a}\right)+\det \left(\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{b},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{b}+\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{c},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{c}+\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{a}\right)\\ =\det \left(\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{a},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{b},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{c}+\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{a}\right)+\det \left(\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{a},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{c},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{c}+\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{a}\right)\\ +\det \left(\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{b},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{b},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{c}+\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{a}\right)+\det \left(\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{b},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{c},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{c}+\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{a}\right)\\ =\det \left(\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{a},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{b},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{c}\right)+\det \left(\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{a},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{b},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{a}\right)\\ +\det \left(\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{a},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{c},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{c}\right)+\det \left(\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{a},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{c},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{a}\right)\\ +0+\det \left(\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{b},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{c},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{c}\right)+\det \left(\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{b},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{c},\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{a}\right)\\ =D+0+0+0+0+0+D\\ =2D\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, MatrixSymbol, Matrix

a = MatrixSymbol('a', 3, 1)
b = MatrixSymbol('b', 3, 1)
c = MatrixSymbol('c', 3, 1)
X = Matrix([[x[i] for x in [a, b, c]]
            for i in range(3)])
d = X.det()
X1 = Matrix([[x[i] for x in [b, c, a]]
             for i in range(3)])
d1 = X1.det()
X2 = Matrix([[x[i] for x in [a + b, b + c, c + a]]
             for i in range(3)])
d2 = X2.det()

for t in [X, d, X1, d1, d1 == d, X2, d2, d2.expand() == 2 * d]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample33.py
⎡a₀₀  b₀₀  c₀₀⎤
⎢             ⎥
⎢a₁₀  b₁₀  c₁₀⎥
⎢             ⎥
⎣a₂₀  b₂₀  c₂₀⎦

a₀₀⋅b₁₀⋅c₂₀ - a₀₀⋅b₂₀⋅c₁₀ - a₁₀⋅b₀₀⋅c₂₀ + a₁₀⋅b₂₀⋅c₀₀ + a₂₀⋅b₀₀⋅c₁₀ - a₂₀⋅b₁₀⋅
c₀₀

⎡b₀₀  c₀₀  a₀₀⎤
⎢             ⎥
⎢b₁₀  c₁₀  a₁₀⎥
⎢             ⎥
⎣b₂₀  c₂₀  a₂₀⎦

a₀₀⋅b₁₀⋅c₂₀ - a₀₀⋅b₂₀⋅c₁₀ - a₁₀⋅b₀₀⋅c₂₀ + a₁₀⋅b₂₀⋅c₀₀ + a₂₀⋅b₀₀⋅c₁₀ - a₂₀⋅b₁₀⋅
c₀₀

True

⎡a₀₀ + b₀₀  b₀₀ + c₀₀  a₀₀ + c₀₀⎤
⎢                               ⎥
⎢a₁₀ + b₁₀  b₁₀ + c₁₀  a₁₀ + c₁₀⎥
⎢                               ⎥
⎣a₂₀ + b₂₀  b₂₀ + c₂₀  a₂₀ + c₂₀⎦

-(a₀₀ + b₀₀)⋅(a₁₀ + c₁₀)⋅(b₂₀ + c₂₀) + (a₀₀ + b₀₀)⋅(a₂₀ + c₂₀)⋅(b₁₀ + c₁₀) + (
a₀₀ + c₀₀)⋅(a₁₀ + b₁₀)⋅(b₂₀ + c₂₀) - (a₀₀ + c₀₀)⋅(a₂₀ + b₂₀)⋅(b₁₀ + c₁₀) - (a₁
₀ + b₁₀)⋅(a₂₀ + c₂₀)⋅(b₀₀ + c₀₀) + (a₁₀ + c₁₀)⋅(a₂₀ + b₂₀)⋅(b₀₀ + c₀₀)

True

$