数学 - Python - 代数学 - 整数 - 素数、素因数分解(正の整数のa進展開、除法の定理)

代数系入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ)
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(整数)、5(素数、素因数分解)、問題15.を取り組んでみる。

15. 
    
    $\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}<n$

    のとき、

    $n=n{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}^0\left(0<n<\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right)$
    $n=\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}$

    のとき、

    $n=1·\; <!--\; middle\; dot\; -->{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}^1\left(0<1<\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right)$

    また、

    $\begin{array}{}n=\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}{q}_0+c_0\left(0\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->c_0<\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right)\\ q_0=\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}{q}_1+c_1\left(0\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->c_1<\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right)\\ ⋮\; <!--\; vertical\; ellipsis\; -->\\ q_{k-1}=\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}{q}_k+c_k\left(0\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->c_k<\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->},q_k<\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right)\\ q_k=d_0+d_1\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+d_k{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}^k\left(0\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->d_0<\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->},\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,0\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->d_{l-1}<\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->},0<d_k<\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right)\\ q_{k-1}=c_k+d_0\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}+d_1{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}^2+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+d_k{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}^{k+1}\\ ⋮\; <!--\; vertical\; ellipsis\; -->\\ q_0=c_1+c_2\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+c_k{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}^{k-1}+d_0{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}^k+d_1{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}^{k+1}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+d_k{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}^{k+k}\\ n=c_0+c_1\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+d_k{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}^{2k+1}\end{array}$

    よって帰納法より、

    $n\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}$

    となる任意の整数に対して成り立つ。

    一意性について。

    $\begin{array}{}n=c\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\\ n=d\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\end{array}$

    のとき、

    $\begin{array}{}c=\frac{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}{n}\\ d=\frac{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}{n}\\ c=d\end{array}$

    また、

    $\begin{array}{}n=\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}q+c_0\left(0\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->c_0<\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right)\\ 0<q<\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\\ q=c_1+c_2\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+c_r{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}^r\\ n=c_0+c_1\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+c_r{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}^{r+1}\end{array}$

    よって帰納法により一意的である。

    （証明終）

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3

# 簡単な10進展開
print(12345 == 5 + 4 * 10 ** 1 + 3 * 10 ** 2 + 2 * 10 ** 3 + 1 * 10 ** 4)

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample15.py
True
$