数学 - Python - オイラーの公式とその応用(Euler's Formula & Its Applications) - ベクトルと行列(Vector & Matrix) - 逆行列と連立1次方程式の解法(転置行列、積の行列式と行列式の積)

オイラーの贈物

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ)
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

オイラーの贈物―人類の至宝eiπ=-1を学ぶ (吉田 武(著)、東海大学出版会)の第III部(オイラーの公式とその応用(Euler's Formula & Its Applications))、第9章(ベクトルと行列(Vector & Matrix))、9.3(逆行列と連立1次方程式の解法)、問題4.を取り組んでみる。

4. 
   

   2×2行列 A. B をそれぞれ

   $\begin{array}{}A=(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array})\end{array}B=(\begin{array}{cc}e& f\\ g& h\end{array})$

   とおく。

   $\begin{array}{}\det A=ad-bc\\ A^T=(\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array})\end{array}\det A^T=ad-cb=ad-bc$

   よって、

   $\det A=\det A^T$
   $AB=(\begin{array}{cc}ae+bg& af+bh\\ ce+\mathrm{dg}& cf+dh\end{array})$
   $\begin{array}{}\det \left(AB\right)\\ =\left(ae+bg\right)\left(cf+dh\right)-\left(af+bh\right)\left(ce+\mathrm{dg}\right)\\ =acef+adeh+bcfg+b\mathrm{dg}h-acef-adfg-bceh-b\mathrm{dg}h\\ =adeh+hcfg-adfg-bceh\end{array}$
   $\begin{array}{}\left(\det A\right)\left(\det B\right)\\ =\left(ad-bc\right)\left(eh-fg\right)\\ =adeh+bcfg-adfg-bceh\end{array}$

   よって、

   $\det \left(AB\right)=\left(\det A\right)\left(\det B\right)$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import symbols, pprint, Matrix

A = Matrix(symbols([chr(ord('a') + i) for i in range(4)])).reshape(2, 2)
B = Matrix(symbols([chr(ord('e') + i) for i in range(4)])).reshape(2, 2)

d1 = A.det()
d2 = A.T.det()
d3 = (A * B).det()
d4 = A.det() * B.det()
for t in [A, B, d1, d2, d1 == d2, d3, d4, d3.expand() == d4.expand()]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample4.py
⎡a  b⎤
⎢    ⎥
⎣c  d⎦

⎡e  f⎤
⎢    ⎥
⎣g  h⎦

a⋅d - b⋅c

a⋅d - b⋅c

True

(a⋅e + b⋅g)⋅(c⋅f + d⋅h) - (a⋅f + b⋅h)⋅(c⋅e + d⋅g)

(a⋅d - b⋅c)⋅(e⋅h - f⋅g)

True

$