数学 - Python - オイラーの公式とその応用(Euler's Formula & Its Applications) - ベクトルと行列(Vector & Matrix) - 逆行列と連立1次方程式の解法(二元連立一次方程式の解法)

オイラーの贈物

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ)
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

オイラーの贈物―人類の至宝eiπ=-1を学ぶ (吉田 武(著)、東海大学出版会)の第III部(オイラーの公式とその応用(Euler's Formula & Its Applications))、第9章(ベクトルと行列(Vector & Matrix))、9.3(逆行列と連立1次方程式の解法)、問題5.を取り組んでみる。

5. 
   
   $D=(\begin{array}{cc}\sqrt{2}& 1\\ 1& \sqrt{3}\end{array})$
   $\det D=\sqrt{6}-1$
   $D^{-1}=\frac{1}{\sqrt{6}-1}(\begin{array}{cc}\sqrt{3}& -1\\ -1& \sqrt{2}\end{array})$
   $\begin{array}{}(\begin{array}{c}x\\ y\end{array})\end{array}=\frac{1}{\sqrt{6}-1}(\begin{array}{cc}\sqrt{3}& -1\\ -1& \sqrt{2}\end{array}\left)(\begin{array}{c}2+\sqrt{3}\\ 3+\sqrt{2}\end{array}\right)\\ =\frac{1}{\sqrt{6}-1}(\begin{array}{c}2\sqrt{3}+3-3-\sqrt{2}\\ -2-\sqrt{3}+3\sqrt{2}+2\end{array})\\ =\frac{1}{\sqrt{6}-1}(\begin{array}{c}2\sqrt{3}-\sqrt{2}\\ -\sqrt{3}+3\sqrt{2}\end{array})\\ =\frac{\sqrt{6}+1}{5}(\begin{array}{c}2\sqrt{3}-\sqrt{2}\\ -\sqrt{3}+3\sqrt{2}\end{array})\\ =(\begin{array}{c}\frac{6\sqrt{2}-2\sqrt{3}+2\sqrt{3}-\sqrt{2}}{5}\\ \frac{-3\sqrt{2}+6\sqrt{3}-\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{5}\end{array})\\ =(\begin{array}{c}\sqrt{2}\\ \sqrt{3}\end{array})$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import symbols, pprint, Matrix, MatrixSymbol, sqrt, solve

x, y = symbols('x, y')
X = Matrix([x, y]).reshape(2, 1)
A = Matrix([[sqrt(2), 1],
            [1, sqrt(3)]])
B = Matrix([[2 + sqrt(3)],
            [3 + sqrt(2)]])

s = solve(A * X - B)
for t in [X, A, B, A * X, s,
          (s[x] - sqrt(2)).factor() == 0,
          (s[y] - sqrt(3)).factor() == 0]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample5.py
⎡x⎤
⎢ ⎥
⎣y⎦

⎡√2  1 ⎤
⎢      ⎥
⎣1   √3⎦

⎡√3 + 2⎤
⎢      ⎥
⎣√2 + 3⎦

⎡√2⋅x + y⎤
⎢        ⎥
⎣x + √3⋅y⎦

⎧   -2⋅√6 + 2       -6 + √6  ⎫
⎨x: ──────────, y: ──────────⎬
⎩   -2⋅√3 + √2     -2⋅√3 + √2⎭

True

True

$