数学 - Python - JavaScript - 解析学 - 微分と基本的な関数 - 指数関数と対数関数 - いくつかの応用(ラジウム、崩壊率、微分方程式)

解析入門 原書第3版
原著

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ)
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第2部(微分と基本的な関数)、第8章(指数関数と対数関数)、5(いくつかの応用)、練習問題3.を取り組んでみる。

3. 
   
   $f\left(t\right)$

   を時刻 t において残っているラジウムの量とする。

   ラジウムの崩壊率は残っているラジウムの量に比例するので、 k をある定数として、

   $\frac{df}{\mathrm{dt}}=kf\left(t\right)$

   となる。

   この微分方程式を解くと、ある定数 C が存在して

   $f\left(t\right)=C{e}^{kt}$

   問題の仮定より、

   $\begin{array}{}f\left(0\right)=1\\ C=1\end{array}$

   よって、

   $f\left(t\right)=e^{kt}$

   また、

   $\begin{array}{}f\left(10^6\right)=\frac{1}{10}\\ e^{k10^6}=10^{-1}\end{array}$

   両辺の対数をとる。

   $\begin{array}{}k10^6=-\log 10\\ k=-10^{-6}\log 10\end{array}$

   よって、

   $f\left(t\right)=e^{\left(-10^{-6}\log 10\right)t}$

   ゆえに崩壊率は、

   $f\text{'}\left(t\right)=\left(-10^{-6}\log 10\right)e^{\left(-10^{-6}\log 10\right)t}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, exp, Derivative, solve, log, plot

k, t, C = symbols('k, t, C', real=True)
f = C * exp(k * t)
Df = Derivative(f, t, 1)
f1 = Df.doit()
C0 = solve(f.subs({t: 0}) - 1, C)[0]
for o in [Df, f1, C0]:
    pprint(o)
    print()

f = f.subs({C: C0, k: -10 ** (-6) * log(10)})
p = plot(0.1, f, (t, 0, 10 ** 6), show=False, legend=True)
for i, color in enumerate(['red', 'green']):
    p[i].line_color = color

p.save('sample3.svg')

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample3.py
∂ ⎛   k⋅t⎞
──⎝C⋅ℯ   ⎠
∂t        

     k⋅t
C⋅k⋅ℯ   

1

$

HTML5

<div id="graph0"></div>
<pre id="output0"></pre>
<label for="r0">r = </label>
<input id="r0" type="number" min="0" value="0.5">
<label for="dx">dx = </label>
<input id="dx" type="number" min="0" step="0.001" value="50">
<br>
<label for="x1">x1 = </label>
<input id="x1" type="number" value="0">
<label for="x2">x2 = </label>
<input id="x2" type="number" value="1000000">
<br>
<label for="y1">y1 = </label>
<input id="y1" type="number" value="0">
<label for="y2">y2 = </label>
<input id="y2" type="number" value="1">

<button id="draw0">draw</button>
<button id="clear0">clear</button>

<script type="text/javascript" src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/d3/4.2.6/d3.min.js" integrity="sha256-5idA201uSwHAROtCops7codXJ0vja+6wbBrZdQ6ETQc=" crossorigin="anonymous"></script>

<script src="sample3.js"></script>

JavaScript

let div0 = document.querySelector('#graph0'),
    pre0 = document.querySelector('#output0'),
    width = 600,
    height = 600,
    padding = 50,
    btn0 = document.querySelector('#draw0'),
    btn1 = document.querySelector('#clear0'),
    input_r = document.querySelector('#r0'),
    input_dx = document.querySelector('#dx'),
    input_x1 = document.querySelector('#x1'),
    input_x2 = document.querySelector('#x2'),
    input_y1 = document.querySelector('#y1'),
    input_y2 = document.querySelector('#y2'),
    inputs = [input_r, input_dx, input_x1, input_x2, input_y1, input_y2],
    p = (x) => pre0.textContent += x + '\n',
    range = (start, end, step=1) => {
        let res = [];
        for (let i = start; i < end; i += step) {
            res.push(i);
        }
        return res;
    };

let f = (x) => Math.exp(-(10 ** (-6)) * Math.log(10) * x);

let draw = () => {
    pre0.textContent = '';

    let r = parseFloat(input_r.value),
        dx = parseFloat(input_dx.value),
        x1 = parseFloat(input_x1.value),
        x2 = parseFloat(input_x2.value),
        y1 = parseFloat(input_y1.value),
        y2 = parseFloat(input_y2.value);

    if (r === 0 || dx === 0 || x1 > x2 || y1 > y2) {
        return;
    }    

    let points = [],
        lines = [[10 ** 6, y1, 10 ** 6, y2, 'red'],
                 [x1, 0.1, x2, 0.1, 'red']],
        fns = [[f, 'green']],
        fns1 = [],
        fns2 = [];

    fns
        .forEach((o) => {
            let [f, color] = o;
            for (let x = x1; x <= x2; x += dx) {
                let y = f(x);

                points.push([x, y, color]);
            }
        });

    fns1
        .forEach((o) => {
            let [f, color] = o;
            
            lines.push([x1, f(x1), x2, f(x2), color]);
        });
    
    fns2
        .forEach((o) => {
            let [f, color] = o;
            for (let x = x1; x <= x2; x += dx0) {
                let g = f(x);
                lines.push([x1, g(x1), x2, g(x2), color]);
            }
        });
    
    let xscale = d3.scaleLinear()
        .domain([x1, x2])
        .range([padding, width - padding]);
    let yscale = d3.scaleLinear()
        .domain([y1, y2])
        .range([height - padding, padding]);

    let xaxis = d3.axisBottom().scale(xscale);
    let yaxis = d3.axisLeft().scale(yscale);
    div0.innerHTML = '';
    let svg = d3.select('#graph0')
        .append('svg')
        .attr('width', width)
        .attr('height', height);

    svg.selectAll('line')
        .data([[x1, 0, x2, 0], [0, y1, 0, y2]].concat(lines))
        .enter()
        .append('line')
        .attr('x1', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('y1', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('x2', (d) => xscale(d[2]))
        .attr('y2', (d) => yscale(d[3]))
        .attr('stroke', (d) => d[4] || 'black');

    svg.selectAll('circle')
        .data(points)
        .enter()
        .append('circle')
        .attr('cx', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('cy', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('r', r)
        .attr('fill', (d) => d[2] || 'green');

    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(0, ${height - padding})`)
        .call(xaxis);

    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(${padding}, 0)`)
        .call(yaxis);

    [fns, fns1, fns2].forEach((fs) => p(fs.join('\n')));
};

inputs.forEach((input) => input.onchange = draw);
btn0.onclick = draw;
btn1.onclick = () => pre0.textContent = '';
draw();

r = dx =
x1 = x2 =
y1 = y2 =