数学 - Python - 解析学 - 距離空間の位相 - n次元実数空間における曲線(曲線の長さ、パラメーター表示に変換、積分、部分積分法、置換積分法)

解析入門〈3〉

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ)
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(距離空間の位相)、12.4(n次元実数空間における曲線)、問題4.を取り組んでみる。

4. 
   
   $\mathrm{\gamma \; <!--\; greek\; small\; letter\; gamma\; -->}\left(t\right)=\left(t,\frac{t^2}{2}\right)$

   とおく。

   $\mathrm{\gamma \; <!--\; greek\; small\; letter\; gamma\; -->}\text{'}\left(t\right)=\left(1,t\right)$

   また、

   $0\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->x\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->2$

   の とき、

   $0\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->t\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->2$

   よって、もとめる長さは

   $\begin{array}{}L\left(t\right)\\ ={\int \; <!--\; integral\; -->}_0^2\left|\mathrm{\gamma \; <!--\; greek\; small\; letter\; gamma\; -->}\text{'}\left(t\right)\right|\mathrm{dt}\\ ={\int \; <!--\; integral\; -->}_0^2\sqrt{1+t^2}\mathrm{dt}\\ ={\left[t\sqrt{1+t^2}\right]}_0^2-{\int \; <!--\; integral\; -->}_0^{2}t·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{1}{2}{\left(1+t^2\right)}^{-\frac{1}{2}}·\; <!--\; middle\; dot\; -->2t\mathrm{dt}\\ =2\sqrt{5}-{\int \; <!--\; integral\; -->}_0^2\frac{t^2}{\sqrt{1+t^2}}\mathrm{dt}\\ =2\sqrt{5}-{\int \; <!--\; integral\; -->}_0^2\frac{t^2+1-1}{\sqrt{1+t^2}}\mathrm{dt}\\ =2\sqrt{5}-{\int \; <!--\; integral\; -->}_0^2\sqrt{1+t^2}\mathrm{dt}+{\int \; <!--\; integral\; -->}_0^2\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}\mathrm{dt}\\ =2\sqrt{5}-L\left(t\right)+{\int \; <!--\; integral\; -->}_0^2\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}\mathrm{dt}\\ 2L\left(t\right)=2\sqrt{5}+{\int \; <!--\; integral\; -->}_0^2\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}\mathrm{dt}\end{array}$
   $\begin{array}{}\sqrt{1+t^2}+t=u\\ \frac{du}{\mathrm{dt}}=\frac{2t}{2\sqrt{1+t^2}}+1\\ =\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}+1\\ =\frac{t+\sqrt{1+t^2}}{\sqrt{1+t^2}}\\ =\frac{u}{\sqrt{1+t^2}}\\ \mathrm{dt}=\frac{\sqrt{1+t^2}}{u}du\\ 0\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->t\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->2\\ 1\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->u\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\sqrt{5}+2\end{array}$
   $\begin{array}{}2L\left(t\right)=2\sqrt{5}+{\int \; <!--\; integral\; -->}_1^{\sqrt{5}+2}\frac{1}{u}du\\ =2\sqrt{5}+{\left[\log u\right]}_1^{\sqrt{5}+2}\\ =2\sqrt{5}+\log \left(\sqrt{5}+2\right)\\ L\left(t\right)=\sqrt{5}+\frac{\log \left(\sqrt{5}+2\right)}{2}\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, sqrt, Integral

t = symbols('t')
f = sqrt(1 + t ** 2)
I = Integral(f, (t, 0, 2))

for o in [I, I.doit()]:
    pprint(o)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample4.py
2               
⌠               
⎮    ________   
⎮   ╱  2        
⎮ ╲╱  t  + 1  dt
⌡               
0               

asinh(2)     
──────── + √5
   2         

$