数学 - 線型代数 - 複素数、複素ベクトル空間 - 複素数上の独立性と実数上の独立性(実行列、複素行列、階数(rank)、解空間、次元)

線型代数入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ)
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第4章(複素数、複素ベクトル空間)、7(複素数上の独立性と実数上の独立性)、問題3.を取り組んでみる。

3. 
   

   線型写像

   $L_A$

   の階数を r とする。

   $rank{L}_A=r$

   x を n-列ベクトルとする。

   $x=(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\; <!--\; vertical\; ellipsis\; -->\\ x_n\end{array})$

   このとき、

   $Ax=O$

   の解空間の次元は、 P.112の命題3.23より

   $n-r$

   線型写像

   ${\stackrel{-}{L}}_A$

   の階数を

   $rank{\stackrel{-}{L}}_A=r\text{'}$

   とする。

   $Ax=O$

   の解空間の次元は、

   $n-r\text{'}$

   よって、

   $\begin{array}{}n-r=n-r\text{'}\\ r=r\text{'}\end{array}$

   ゆえに、 A を実行列とみたときの階数と複素行列とみたときの階数とは等しい。