数学 - Python - 線形代数学 - 行列 – 行列の乗法(上三角行列、対角要素、逆数、積)

ラング線形代数学(上)
原著

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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の3章(行列)、3(行列の乗法)、練習問題19.を取り組んでみる。

19. 
    

    行列 AB の(i, j)成分について。

    $\begin{array}{}i<j\\ \underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_{ik}{b}_{kj}\\ =\underset{k=1}{\overset{j-1}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_{ik}0+a_{ij}{a}_{jj}^{-1}+\underset{k=j+1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_{ik}·\; <!--\; middle\; dot\; -->0\\ =a_{ij}{a}_{jj}^{-1}\end{array}$
    $\begin{array}{}i=j\\ \underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_{ik}{b}_{kj}\\ =\underset{k=1}{\overset{i-1}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}0·\; <!--\; middle\; dot\; -->0+a_{ii}{a}_{ii}^{-1}+\underset{k=i+1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_{ij}·\; <!--\; middle\; dot\; -->0\\ =1\end{array}$
    $\begin{array}{}i>j\\ \underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_{ik}{b}_{kj}\\ =\underset{k=1}{\overset{j-1}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}0·\; <!--\; middle\; dot\; -->0+0·\; <!--\; middle\; dot\; -->a_{jj}^{-1}+\underset{k=j+1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_{ij}·\; <!--\; middle\; dot\; -->0\\ =0\end{array}$

    よって、行列 AB は上三角行列で、その対角要素は1である。

    行列 BA の(i, j)成分について。

    $\begin{array}{}i<j\\ \underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{b}_{ik}{a}_{kj}\\ =\underset{k=1}{\overset{i-1}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}0·\; <!--\; middle\; dot\; -->a_{kj}+a_{ii}^{-1}{a}_{ij}+\underset{k=i+1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}0·\; <!--\; middle\; dot\; -->a_{kj}\\ =a_{ii}^{-1}{a}_{ij}\end{array}$
    $\begin{array}{}i=j\\ \underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{b}_{ik}{a}_{kj}\\ =\underset{k=1}{\overset{j-1}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}0·\; <!--\; middle\; dot\; -->a_{kj}+a_{jj}^{-1}·\; <!--\; middle\; dot\; -->a_{jj}+\underset{k=j+1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}0·\; <!--\; middle\; dot\; -->a_{kj}\\ =1\end{array}$
    $\begin{array}{}i>j\\ \underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{b}_{ik}{a}_{kj}\\ =\underset{k=1}{\overset{i-1}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}0·\; <!--\; middle\; dot\; -->a_{kj}+a_{ii}^{-1}0+\underset{k=i+1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}0·\; <!--\; middle\; dot\; -->a_{kj}\\ =0\end{array}$

    よって、 BA は上三角行列で、その対角要素は1である。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, Rational
import random

for n in range(1, 6):
    print(f'n = {n}')
    A = Matrix([[symbols(f'a{i}{j}') if i <= j else 0 for j in range(n)]
                for i in range(n)])
    B = Matrix([[1 / symbols(f'a{i}{j}') if i == j else 0 for j in range(n)]
                for i in range(n)])

    for t in [A, B, A * B, B * A]:
        pprint(t)
        print()
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample19.py
n = 1
[a₀₀]

⎡ 1 ⎤
⎢───⎥
⎣a₀₀⎦

[1]

[1]


n = 2
⎡a₀₀  a₀₁⎤
⎢        ⎥
⎣ 0   a₁₁⎦

⎡ 1      ⎤
⎢───   0 ⎥
⎢a₀₀     ⎥
⎢        ⎥
⎢      1 ⎥
⎢ 0   ───⎥
⎣     a₁₁⎦

⎡   a₀₁⎤
⎢1  ───⎥
⎢   a₁₁⎥
⎢      ⎥
⎣0   1 ⎦

⎡   a₀₁⎤
⎢1  ───⎥
⎢   a₀₀⎥
⎢      ⎥
⎣0   1 ⎦


n = 3
⎡a₀₀  a₀₁  a₀₂⎤
⎢             ⎥
⎢ 0   a₁₁  a₁₂⎥
⎢             ⎥
⎣ 0    0   a₂₂⎦

⎡ 1           ⎤
⎢───   0    0 ⎥
⎢a₀₀          ⎥
⎢             ⎥
⎢      1      ⎥
⎢ 0   ───   0 ⎥
⎢     a₁₁     ⎥
⎢             ⎥
⎢           1 ⎥
⎢ 0    0   ───⎥
⎣          a₂₂⎦

⎡   a₀₁  a₀₂⎤
⎢1  ───  ───⎥
⎢   a₁₁  a₂₂⎥
⎢           ⎥
⎢        a₁₂⎥
⎢0   1   ───⎥
⎢        a₂₂⎥
⎢           ⎥
⎣0   0    1 ⎦

⎡   a₀₁  a₀₂⎤
⎢1  ───  ───⎥
⎢   a₀₀  a₀₀⎥
⎢           ⎥
⎢        a₁₂⎥
⎢0   1   ───⎥
⎢        a₁₁⎥
⎢           ⎥
⎣0   0    1 ⎦


n = 4
⎡a₀₀  a₀₁  a₀₂  a₀₃⎤
⎢                  ⎥
⎢ 0   a₁₁  a₁₂  a₁₃⎥
⎢                  ⎥
⎢ 0    0   a₂₂  a₂₃⎥
⎢                  ⎥
⎣ 0    0    0   a₃₃⎦

⎡ 1                ⎤
⎢───   0    0    0 ⎥
⎢a₀₀               ⎥
⎢                  ⎥
⎢      1           ⎥
⎢ 0   ───   0    0 ⎥
⎢     a₁₁          ⎥
⎢                  ⎥
⎢           1      ⎥
⎢ 0    0   ───   0 ⎥
⎢          a₂₂     ⎥
⎢                  ⎥
⎢                1 ⎥
⎢ 0    0    0   ───⎥
⎣               a₃₃⎦

⎡   a₀₁  a₀₂  a₀₃⎤
⎢1  ───  ───  ───⎥
⎢   a₁₁  a₂₂  a₃₃⎥
⎢                ⎥
⎢        a₁₂  a₁₃⎥
⎢0   1   ───  ───⎥
⎢        a₂₂  a₃₃⎥
⎢                ⎥
⎢             a₂₃⎥
⎢0   0    1   ───⎥
⎢             a₃₃⎥
⎢                ⎥
⎣0   0    0    1 ⎦

⎡   a₀₁  a₀₂  a₀₃⎤
⎢1  ───  ───  ───⎥
⎢   a₀₀  a₀₀  a₀₀⎥
⎢                ⎥
⎢        a₁₂  a₁₃⎥
⎢0   1   ───  ───⎥
⎢        a₁₁  a₁₁⎥
⎢                ⎥
⎢             a₂₃⎥
⎢0   0    1   ───⎥
⎢             a₂₂⎥
⎢                ⎥
⎣0   0    0    1 ⎦


n = 5
⎡a₀₀  a₀₁  a₀₂  a₀₃  a₀₄⎤
⎢                       ⎥
⎢ 0   a₁₁  a₁₂  a₁₃  a₁₄⎥
⎢                       ⎥
⎢ 0    0   a₂₂  a₂₃  a₂₄⎥
⎢                       ⎥
⎢ 0    0    0   a₃₃  a₃₄⎥
⎢                       ⎥
⎣ 0    0    0    0   a₄₄⎦

⎡ 1                     ⎤
⎢───   0    0    0    0 ⎥
⎢a₀₀                    ⎥
⎢                       ⎥
⎢      1                ⎥
⎢ 0   ───   0    0    0 ⎥
⎢     a₁₁               ⎥
⎢                       ⎥
⎢           1           ⎥
⎢ 0    0   ───   0    0 ⎥
⎢          a₂₂          ⎥
⎢                       ⎥
⎢                1      ⎥
⎢ 0    0    0   ───   0 ⎥
⎢               a₃₃     ⎥
⎢                       ⎥
⎢                     1 ⎥
⎢ 0    0    0    0   ───⎥
⎣                    a₄₄⎦

⎡   a₀₁  a₀₂  a₀₃  a₀₄⎤
⎢1  ───  ───  ───  ───⎥
⎢   a₁₁  a₂₂  a₃₃  a₄₄⎥
⎢                     ⎥
⎢        a₁₂  a₁₃  a₁₄⎥
⎢0   1   ───  ───  ───⎥
⎢        a₂₂  a₃₃  a₄₄⎥
⎢                     ⎥
⎢             a₂₃  a₂₄⎥
⎢0   0    1   ───  ───⎥
⎢             a₃₃  a₄₄⎥
⎢                     ⎥
⎢                  a₃₄⎥
⎢0   0    0    1   ───⎥
⎢                  a₄₄⎥
⎢                     ⎥
⎣0   0    0    0    1 ⎦

⎡   a₀₁  a₀₂  a₀₃  a₀₄⎤
⎢1  ───  ───  ───  ───⎥
⎢   a₀₀  a₀₀  a₀₀  a₀₀⎥
⎢                     ⎥
⎢        a₁₂  a₁₃  a₁₄⎥
⎢0   1   ───  ───  ───⎥
⎢        a₁₁  a₁₁  a₁₁⎥
⎢                     ⎥
⎢             a₂₃  a₂₄⎥
⎢0   0    1   ───  ───⎥
⎢             a₂₂  a₂₂⎥
⎢                     ⎥
⎢                  a₃₄⎥
⎢0   0    0    1   ───⎥
⎢                  a₃₃⎥
⎢                     ⎥
⎣0   0    0    0    1 ⎦


$