数学 - Python - 線形代数学 - 行列 – 行列の乗法(べき零行列、可換、積、和)

ラング線形代数学(上)
原著

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の3章(行列)、3(行列の乗法)、練習問題22.を取り組んでみる。

22. 
    

    積について。

    $\begin{array}{}{\left(AB\right)}^r\\ =ABAB·\; <!--\; middle\; dot\; -->·\; <!--\; middle\; dot\; -->AB\\ =A^r{B}^r\\ =OO\\ =O\end{array}$

    和について。

    $\begin{array}{}{\left(A+B\right)}^r\\ =\underset{s=0}{\overset{r}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}(\begin{array}{c}r\\ s\end{array})\end{array}{A}^s{B}^{r-s}=B^r+\underset{s=1}{\overset{r-1}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}(\begin{array}{c}r\\ s\end{array})A^s{B}^{r-s}+A^r\\ =\underset{s=1}{\overset{r-1}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}(\begin{array}{c}r\\ s\end{array})A^s{B}^{r-s}\\ =AB\underset{s=1}{\overset{r-1}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}(\begin{array}{c}r\\ s\end{array})A^{s-1}{B}^{r-s-1}\\ =O\underset{s=1}{\overset{r-1}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}(\begin{array}{c}r\\ s\end{array})A^{s-1}{B}^{r-s-1}\\ =O$

    よって、積および和もべき零行列である。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix
import random

A = Matrix([[0, 1, 0],
            [0, 0, 0],
            [0, 0, 0]])
B = Matrix([[0, 0, 1],
            [0, 0, 0],
            [0, 0, 0]])

for t in [A, B, A ** 2, B ** 2, A * B, B * A, A * B == B * A, (A * B) ** 2, (A + B) ** 2]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample22.py
⎡0  1  0⎤
⎢       ⎥
⎢0  0  0⎥
⎢       ⎥
⎣0  0  0⎦

⎡0  0  1⎤
⎢       ⎥
⎢0  0  0⎥
⎢       ⎥
⎣0  0  0⎦

⎡0  0  0⎤
⎢       ⎥
⎢0  0  0⎥
⎢       ⎥
⎣0  0  0⎦

⎡0  0  0⎤
⎢       ⎥
⎢0  0  0⎥
⎢       ⎥
⎣0  0  0⎦

⎡0  0  0⎤
⎢       ⎥
⎢0  0  0⎥
⎢       ⎥
⎣0  0  0⎦

⎡0  0  0⎤
⎢       ⎥
⎢0  0  0⎥
⎢       ⎥
⎣0  0  0⎦

True

⎡0  0  0⎤
⎢       ⎥
⎢0  0  0⎥
⎢       ⎥
⎣0  0  0⎦

⎡0  0  0⎤
⎢       ⎥
⎢0  0  0⎥
⎢       ⎥
⎣0  0  0⎦

$