数学 - Python - 代数学 - 整数 - 素数、素因数分解(逆数の和、素因数、偶数、奇数)

代数系入門

学習環境

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(整数)、5(素数、素因数分解)、問題14.を取り組んでみる。

14. 1. 
       

       h を

       $2^h\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->n<2·\; <!--\; middle\; dot\; -->2^h$

       を満たす正の整数とする。

       2は素数である。

       このとき、

       $1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,n\left(n>1\right)$

       のなかで、

       $2^h$

       だけが

       $2^h$

       で割り切れる。

       よって、前問の問13より、(a)は整数ではない。

    2. 
       

       h を

       $3^h\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->2n-1<3·\; <!--\; middle\; dot\; -->3^h$

       を満たす正の整数とする。

       3は素数。

       また、

       $1,3,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,2n-1\left(n>1\right)$

       のなかで、

       $3^h$

       のみが

       $3^h$

       で割り切れる。

       よって、前問の問13より、(b)は整数ではない。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, summation
import random

k, n = symbols('k, n', integer=True)
s1 = summation(1 / k, (k, 1, n))
s2 = summation(1 / (2 * k - 1), (k, 1, n))

for i, s in enumerate([s1, s2]):
    print(f'({chr(ord("a") + i)})')
    pprint(s)
    for _ in range(5):
        n0 = random.randrange(10)
        print(f'n = {n0}\n')
        s0 = s.subs({n: n0}).doit()
        for t in [s0, s0.is_integer]:
            pprint(t)
            print()
        print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample14.py
(a)
harmonic(n)
n = 7

363
───
140

False


n = 5

137
───
 60

False


n = 6

49
──
20

False


n = 7

363
───
140

False


n = 2

3/2

False


(b)
  n          
 ____        
 ╲           
  ╲      1   
   ╲  ───────
   ╱  2⋅k - 1
  ╱          
 ╱           
 ‾‾‾‾        
k = 1        
n = 3

23
──
15

False


n = 3

23
──
15

False


n = 8

91072
─────
45045

False


n = 8

91072
─────
45045

False


n = 6

6508
────
3465

False


$