数学 - 図形の変換の方法 - 線形写像・1次変換 – 平面の1次変換 - アフィン変換(アフィン変換であるための十分条件)

数学読本〈6〉

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数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュード/εとδ/落ち穂拾い など(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第22章(図形の変換の方法 - 線形写像・1次変換)、22.2(平面の1次変換)、アフィン変換、問13.を取り組んでみる。

13. 
    
    $g\left(\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{p}\right)=f\left(\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{p}\right)-f\left(\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{0}\right)$

    とおく。

    $\begin{array}{}g\left(r\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{p}\right)\\ =g\left(r\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{p}+\left(1-r\right)\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{0}\right)\\ =f\left(r\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{p}+\left(1-r\right)\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{0}\right)-f\left(\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{0}\right)\\ =rf\left(\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{p}\right)+\left(1-r\right)f\left(\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{0}\right)-f\left(\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{0}\right)\\ =rf\left(\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{p}\right)+f\left(\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{0}\right)-rf\left(\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{0}\right)-f\left(\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{0}\right)\\ =r\left(f\left(\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{p}\right)-f\left(\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{0}\right)\right)\\ =\mathrm{\gamma \; <!--\; greek\; small\; letter\; gamma\; -->}g\left(\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{p}\right)\end{array}$
    $\begin{array}{}g\left({\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{p}}_1+{\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{p}}_2\right)\\ =f\left({\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{p}}_1+{\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{p}}_2\right)-f\left(\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{0}\right)\\ =f\left(\frac{1}{2}\left(2{\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{p}}_1\right)+\frac{1}{2}\left(2{\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{p}}_2\right)\right)-f\left(\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{0}\right)\\ =\frac{1}{2}f\left(2{\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{p}}_1\right)+\frac{1}{2}f\left(2{\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{p}}_2\right)-f\left(\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{0}\right)\\ =\frac{1}{2}\left(f\left(2{\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{p}}_1\right)-f\left(\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{0}\right)\right)+\frac{1}{2}\left(f\left(2{\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{p}}_2\right)-f\left(\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{0}\right)\right)\\ =\frac{1}{2}g\left(2{\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{p}}_1\right)+\frac{1}{2}g\left(2{\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{p}}_2\right)\\ =g\left({\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{p}}_1\right)+g\left({\stackrel{\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->}{p}}_2\right)\end{array}$

    よって g は1次変換である。

    ゆえに、 f はアフィン変換である。

    （証明終）