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2018年1月16日火曜日

学習環境

解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第14章(多変数の関数)、14.1(微分可能性と勾配ベクトル)、問題9.を取り組んでみる。


  1. x を U の任意の点、 h を x と x + h を結ぶ直線がUに含まれる点とする。

    このとき、

    f(x+h)-f(x)=(f(x1+h1,x2+h2,,xn+hn)-f(x1,x2+h2,,xn+hn))+(f(x1,x2+h2,··-,xn+hn)-f(x1,x2,,xn+hn))+(f(x1,,xn-1,xn+hn)-f(x1,,xn-1,xn))=h1·f(x1+h1,,xn+hn)-f(x1,,xn+hn)h1+hn·f(x1,,xn+hn)-f(x1,,xn)hn
    |h|0

    のとき、

    |f(x+h)-f(h)|=|h1Df1(x1,,xn+hn)++hnDfn(x1,,xn)||h1|M1++|hn|Mn(|h1|++|hn|)M0

    よって、 f は U において連続である。

    (証明終)

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