数学 - Python - 図形の変換の方法 - 線形写像・1次変換 – 平面の1次変換 - 1次変換の逆変換(合成変換の逆変換、逆変換の合成変換、可逆行列)

数学読本〈6〉

学習環境

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• iPad Pro + Apple Pencil
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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュード/εとδ/落ち穂拾い など(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第22章(図形の変換の方法 - 線形写像・1次変換)、22.2(平面の1次変換)、1次変換の逆変換、問8.を取り組んでみる。

8. 
   

   1次変換 f、 g の行列をそれぞれ A、B とする。

   合成変換

   $f\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->g$

   の逆変換の行列は

   ${\left(AB\right)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$

   また、 f、 g の逆変換の行列はそれぞれ

   $A^{-1},B^{-1}$

   よって、

   ${\left(f·\; <!--\; middle\; dot\; -->g\right)}^{-1}=g^{-1}\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->f^{-1}$

   が成り立つ。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Function, solve

x, y = symbols('x, y')
f = 2 * x
g = 3 * x
fg = f.subs({x: g})
eq1 = y - f
eq2 = y - g
eq3 = y - fg

f1 = solve(eq1, x)[0]
g1 = solve(eq2, x)[0]
fg1 = solve(eq3, x)[0]

for t in [f, g, fg, f1, g1, fg1, fg1 == g1.subs({y: f1})]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample8.py
2⋅x

3⋅x

6⋅x

y
─
2

y
─
3

y
─
6

True

$