数学 - Python - 図形の変換の方法 - 線形写像・1次変換 – 平面の1次変換 - 1次変換の合成(x軸、原点、直線、対称移動、合成変換の行列、可換性について)

数学読本〈6〉

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  • Pythonからはじめる数学入門
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数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュード/εとδ/落ち穂拾い など(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第22章(図形の変換の方法 - 線形写像・1次変換)、22.2(平面の1次変換)、1次変換の合成、問6.を取り組んでみる。

6. 1. 
      

      f の行列。

      $\begin{array}{}A(\begin{array}{c}x\\ y\end{array})\end{array}=(\begin{array}{c}x\\ -y\end{array})(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\left)(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=(\begin{array}{c}x\\ -y\end{array})\\ ax+by=x\\ cx+\mathrm{dy}=-y\\ a=1\\ b=0\\ c=0\\ d=-1\\ A=(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array})$

      g の行列。

      $\begin{array}{}A(\begin{array}{c}x\\ y\end{array})\end{array}=(\begin{array}{c}-x\\ -y\end{array})A=(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array})$

      h の行列。

      $A=(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array})$
      $(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\left)(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)=(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array})$
   2. 
      
      $(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\left)(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)=(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array})$
   3. 
      
      $(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\left)(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)=(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array})$
   4. 
      
      $(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\left)(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)=(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array})$
   5. 
      
      $(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\left)(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)=(\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& 0\end{array})$
   6. 
      
      $(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\left)(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)=(\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& 0\end{array})$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, Matrix

f = Matrix([[1, 0],
            [0, -1]])
g = Matrix([[-1, 0],
            [0, -1]])
h = Matrix([[0, 1],
            [1, 0]])

for i, t in enumerate([f * g, g * f, h * f, f * h, g * h, h * g], 1):
    print(f'({i})')
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample6.py
(1)
⎡-1  0⎤
⎢     ⎥
⎣0   1⎦

(2)
⎡-1  0⎤
⎢     ⎥
⎣0   1⎦

(3)
⎡0  -1⎤
⎢     ⎥
⎣1  0 ⎦

(4)
⎡0   1⎤
⎢     ⎥
⎣-1  0⎦

(5)
⎡0   -1⎤
⎢      ⎥
⎣-1  0 ⎦

(6)
⎡0   -1⎤
⎢      ⎥
⎣-1  0 ⎦

$