数学 - Python - JavaScript - 図形の変換の方法 - 線形写像・1次変換 – 平面の1次変換 - 1次変換の定義(直線、対称点、傾き、垂直、行列)

数学読本〈6〉

学習環境

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュード/εとδ/落ち穂拾い など(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第22章(図形の変換の方法 - 線形写像・1次変換)、22.2(平面の1次変換)、1次変換の定義、問1.を取り組んでみる。

1. 
   

   平面上の点

   $\left(x,y\right)$

   の直線

   $y=mx$

   に関する対称移動した点を

   $\left(x\text{'},y\text{'}\right)$

   とする。

   このとき、 点

   $\left(\frac{x+x\text{'}}{2},\frac{y+y\text{'}}{2}\right)$

   は直線

   $y=mx$

   上の点なので、

   $\frac{y+y\text{'}}{2}=m·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{x+x\text{'}}{2}$

   また、 2点

   $\left(x,y\right),\left(x\text{'},y\text{'}\right)$

   を通る直線の傾きは、直線

   $y=mx$

   の傾きと垂直なので

   $\frac{y-y\text{'}}{x-x\text{'}}·\; <!--\; middle\; dot\; -->m=-1$

   連立方程式

   $\begin{array}{}y+y\text{'}=m\left(x+x\text{'}\right)\\ m\left(y-y\text{'}\right)=x\text{'}-x\end{array}$

   について、

   $x\text{'},y\text{'}$

   を求める。

   $\begin{array}{}x\text{'}=m\left(y-y\text{'}\right)+x\\ y+y\text{'}=m\left(x+m\left(y-y\text{'}\right)+x\right)\\ y+y\text{'}=2mx+m^{2}y-m^{2}y\text{'}\\ \left(1+m^2\right)y\text{'}=2mx-\left(1-m^2\right)y\\ y\text{'}=\frac{2m}{1+m^2}x-\frac{1-m^2}{1+m^2}y\\ x\text{'}=m\left(y-\frac{2m}{1+m^2}x+\frac{1-m^2}{1+m^2}y\right)+x\\ =\left(1-\frac{2m^2}{1+m^2}\right)x+\frac{2m}{1+m^2}y\\ =\frac{1-m^2}{1+m^2}x+\frac{2m}{1+m^2}y\end{array}$

   よって、

   $(\begin{array}{c}x\text{'}\\ y\text{'}\end{array})=\frac{1}{1+m^2}(\begin{array}{cc}1-m^2,& 2m\\ 2m,& m^2+1\end{array})(\begin{array}{c}x\\ y\end{array})$

   （証明終）

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix

x, y, m = symbols('x, y, m')
A = Matrix([[1 - m ** 2, 2 * m],
            [2 * m, m ** 2 + 1]])
X = Matrix([[x],
            [y]])

pprint(A * X)

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample1.py
⎡          ⎛   2    ⎞⎤
⎢2⋅m⋅y + x⋅⎝- m  + 1⎠⎥
⎢                    ⎥
⎢           ⎛ 2    ⎞ ⎥
⎣ 2⋅m⋅x + y⋅⎝m  + 1⎠ ⎦
$

HTML5

<div id="graph0"></div>
<pre id="output0"></pre>
<label for="r0">r = </label>
<input id="r0" type="number" min="0" value="0.5">
<label for="dx">dx = </label>
<input id="dx" type="number" min="0" step="0.001" value="0.005">
<br>
<label for="x1">x1 = </label>
<input id="x1" type="number" value="-5">
<label for="x2">x2 = </label>
<input id="x2" type="number" value="5">
<br>
<label for="y1">y1 = </label>
<input id="y1" type="number" value="-5">
<label for="y2">y2 = </label>
<input id="y2" type="number" value="5">
<br>
<label for="m0">m0 = </label>
<input id="m0" type="number" value="2">

<button id="draw0">draw</button>
<button id="clear0">clear</button>

<script type="text/javascript" src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/d3/4.2.6/d3.min.js" integrity="sha256-5idA201uSwHAROtCops7codXJ0vja+6wbBrZdQ6ETQc=" crossorigin="anonymous"></script>

<script src="sample1.js"></script>

JavaScript

let div0 = document.querySelector('#graph0'),
    pre0 = document.querySelector('#output0'),
    width = 600,
    height = 600,
    padding = 50,
    btn0 = document.querySelector('#draw0'),
    btn1 = document.querySelector('#clear0'),
    input_r = document.querySelector('#r0'),
    input_dx = document.querySelector('#dx'),
    input_x1 = document.querySelector('#x1'),
    input_x2 = document.querySelector('#x2'),
    input_y1 = document.querySelector('#y1'),
    input_y2 = document.querySelector('#y2'),
    input_m0 = document.querySelector('#m0'),
    inputs = [input_r, input_dx, input_x1, input_x2, input_y1, input_y2,
              input_m0],
    p = (x) => pre0.textContent += x + '\n',
    range = (start, end, step=1) => {
        let res = [];
        for (let i = start; i < end; i += step) {
            res.push(i);
        }
        return res;
    };

let draw = () => {
    pre0.textContent = '';

    let r = parseFloat(input_r.value),
        dx = parseFloat(input_dx.value),
        x1 = parseFloat(input_x1.value),
        x2 = parseFloat(input_x2.value),
        y1 = parseFloat(input_y1.value),
        y2 = parseFloat(input_y2.value),
        m0 = parseFloat(input_m0.value);

    if (r === 0 || dx === 0 || x1 > x2 || y1 > y2) {
        return;
    }    

    let points = [],
        lines = [],
        fns = [[(x) => m0 * x, 'green']]
        fns1 = [],
        fns2 = [];

    fns
        .forEach((o) => {
            let [f, color] = o;
            for (let x = x1; x <= x2; x += dx) {
                let y = f(x);

                points.push([x, y, color]);
            }
        });

    fns1
        .forEach((o) => {
            let [f, color] = o;
            
            lines.push([x1, f(x1), x2, f(x2), color]);
        });
    
    fns2
        .forEach((o) => {
            let [f, color] = o;
            for (let x = x1; x <= x2; x += dx0) {
                let g = f(x);
                lines.push([x1, g(x1), x2, g(x2), color]);
            }
        });
    
    let xscale = d3.scaleLinear()
        .domain([x1, x2])
        .range([padding, width - padding]);
    let yscale = d3.scaleLinear()
        .domain([y1, y2])
        .range([height - padding, padding]);

    let xaxis = d3.axisBottom().scale(xscale);
    let yaxis = d3.axisLeft().scale(yscale);
    div0.innerHTML = '';
    let svg = d3.select('#graph0')
        .append('svg')
        .attr('width', width)
        .attr('height', height);

    svg.selectAll('line')
        .data([[x1, 0, x2, 0], [0, y1, 0, y2]].concat(lines))
        .enter()
        .append('line')
        .attr('x1', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('y1', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('x2', (d) => xscale(d[2]))
        .attr('y2', (d) => yscale(d[3]))
        .attr('stroke', (d) => d[4] || 'black');

    svg.selectAll('circle')
        .data(points)
        .enter()
        .append('circle')
        .attr('cx', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('cy', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('r', r)
        .attr('fill', (d) => d[2] || 'green');

    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(0, ${height - padding})`)
        .call(xaxis);

    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(${padding}, 0)`)
        .call(yaxis);

    [fns, fns1, fns2].forEach((fs) => p(fs.join('\n')));
};

inputs.forEach((input) => input.onchange = draw);
btn0.onclick = draw;
btn1.onclick = () => pre0.textContent = '';
draw();

r = dx =
x1 = x2 =
y1 = y2 =
m0 =