数学 - Python - JavaScript - 解析学 - 多変数の関数 - 高次偏導関数、テイラーの定理(逆三角関数(逆正接関数)、ラプラス演算子(ラプラシアン)、調和関数)

解析入門〈3〉

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解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第14章(多変数の関数)、14.2(高次偏導関数、テイラーの定理)、問題2-(c).を取り組んでみる。

2. 3. 
      
      $\frac{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->f}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->x}=\frac{1}{1+{\left(\frac{y}{x}\right)}^2}\frac{-y}{x^2}=\frac{-y}{x^2+y^2}$
      $\frac{{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->}^{2}f}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->x^2}=\frac{y·\; <!--\; middle\; dot\; -->2x}{{\left(x^2+y^2\right)}^2}$
      $\frac{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->f}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->y}=\frac{1}{1+{\left(\frac{y}{x}\right)}^2}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{1}{x}=\frac{x}{x^2+y^2}$
      $\frac{{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->}^{2}f}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->y^2}=\frac{-2xy}{{\left(x^2+y^2\right)}^2}$

      よって、

      $\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}f=0$

      ゆえに問題の関数は調和関数である。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, atan, Limit, Derivative

x, y, t = symbols('x, y, t')
f = atan(y / x)
Ds = [Derivative(f, t, n) for n in range(1, 3)]

for D in Ds:
    for t0 in [x, y]:
        D = D.subs({t: t0})
        for s in [D, D.doit()]:
            pprint(s)
            print()
        print()
    print()

pprint(sum([Ds[1].subs({t: t0}).doit().factor() for t0 in [x, y]]))

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample2.py
∂ ⎛    ⎛y⎞⎞
──⎜atan⎜─⎟⎟
∂x⎝    ⎝x⎠⎠

    -y     
───────────
   ⎛     2⎞
 2 ⎜    y ⎟
x ⋅⎜1 + ──⎟
   ⎜     2⎟
   ⎝    x ⎠


∂ ⎛    ⎛y⎞⎞
──⎜atan⎜─⎟⎟
∂x⎝    ⎝x⎠⎠

    -y     
───────────
   ⎛     2⎞
 2 ⎜    y ⎟
x ⋅⎜1 + ──⎟
   ⎜     2⎟
   ⎝    x ⎠



  2         
 ∂ ⎛    ⎛y⎞⎞
───⎜atan⎜─⎟⎟
  2⎝    ⎝x⎠⎠
∂x          

    ⎛          2    ⎞
    ⎜         y     ⎟
2⋅y⋅⎜1 - ───────────⎟
    ⎜       ⎛     2⎞⎟
    ⎜     2 ⎜    y ⎟⎟
    ⎜    x ⋅⎜1 + ──⎟⎟
    ⎜       ⎜     2⎟⎟
    ⎝       ⎝    x ⎠⎠
─────────────────────
        ⎛     2⎞     
      3 ⎜    y ⎟     
     x ⋅⎜1 + ──⎟     
        ⎜     2⎟     
        ⎝    x ⎠     


  2         
 ∂ ⎛    ⎛y⎞⎞
───⎜atan⎜─⎟⎟
  2⎝    ⎝x⎠⎠
∂x          

    ⎛          2    ⎞
    ⎜         y     ⎟
2⋅y⋅⎜1 - ───────────⎟
    ⎜       ⎛     2⎞⎟
    ⎜     2 ⎜    y ⎟⎟
    ⎜    x ⋅⎜1 + ──⎟⎟
    ⎜       ⎜     2⎟⎟
    ⎝       ⎝    x ⎠⎠
─────────────────────
        ⎛     2⎞     
      3 ⎜    y ⎟     
     x ⋅⎜1 + ──⎟     
        ⎜     2⎟     
        ⎝    x ⎠     



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