数学 - Python - 線型代数 - 行列式 - 行列式の計算(n次の正方行列、加法(和)、線型性、偶奇)

線型代数入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ)
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第5章(行列式)、6(行列式の計算)、問題12.を取り組んでみる。

12. 
    
    $\begin{array}{}\det B\\ =\det \left(a_1+a_2,a_2+a_3,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,a_{n-1}+a_n,a_n+a_1\right)\\ =\det \left(a_1,a_2,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,a_n\right)+\det \left(a_2,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,a_{n_1}{a}_1\right)\end{array}$

    よって、 n が奇数のとき、

    $\det B=2D$

    n が偶数の場合、

    $\det B=0$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, zeros

for n in range(1, 5):
    A = Matrix([[symbols(f'a{i + 1}{j + 1}') for j in range(n)]
                for i in range(n)])
    B = Matrix([[A[i, j] + A[i, j + 1 if j < n - 1 else 0] for j in range(n)]
                for i in range(n)])
    D = A.det()
    DB = B.det()
    for t in [A, B, D, DB, DB.factor() == (2 * D).factor()]:
        pprint(t)
        print()
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample12.py
[a₁₁]

[2⋅a₁₁]

a₁₁

2⋅a₁₁

True


⎡a₁₁  a₁₂⎤
⎢        ⎥
⎣a₂₁  a₂₂⎦

⎡a₁₁ + a₁₂  a₁₁ + a₁₂⎤
⎢                    ⎥
⎣a₂₁ + a₂₂  a₂₁ + a₂₂⎦

a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁

0

False


⎡a₁₁  a₁₂  a₁₃⎤
⎢             ⎥
⎢a₂₁  a₂₂  a₂₃⎥
⎢             ⎥
⎣a₃₁  a₃₂  a₃₃⎦

⎡a₁₁ + a₁₂  a₁₂ + a₁₃  a₁₁ + a₁₃⎤
⎢                               ⎥
⎢a₂₁ + a₂₂  a₂₂ + a₂₃  a₂₁ + a₂₃⎥
⎢                               ⎥
⎣a₃₁ + a₃₂  a₃₂ + a₃₃  a₃₁ + a₃₃⎦

a₁₁⋅a₂₂⋅a₃₃ - a₁₁⋅a₂₃⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₂₁⋅a₃₃ + a₁₂⋅a₂₃⋅a₃₁ + a₁₃⋅a₂₁⋅a₃₂ - a₁₃⋅a₂₂⋅
a₃₁

-(a₁₁ + a₁₂)⋅(a₂₁ + a₂₃)⋅(a₃₂ + a₃₃) + (a₁₁ + a₁₂)⋅(a₂₂ + a₂₃)⋅(a₃₁ + a₃₃) + (
a₁₁ + a₁₃)⋅(a₂₁ + a₂₂)⋅(a₃₂ + a₃₃) - (a₁₁ + a₁₃)⋅(a₂₂ + a₂₃)⋅(a₃₁ + a₃₂) - (a₁
₂ + a₁₃)⋅(a₂₁ + a₂₂)⋅(a₃₁ + a₃₃) + (a₁₂ + a₁₃)⋅(a₂₁ + a₂₃)⋅(a₃₁ + a₃₂)

True


⎡a₁₁  a₁₂  a₁₃  a₁₄⎤
⎢                  ⎥
⎢a₂₁  a₂₂  a₂₃  a₂₄⎥
⎢                  ⎥
⎢a₃₁  a₃₂  a₃₃  a₃₄⎥
⎢                  ⎥
⎣a₄₁  a₄₂  a₄₃  a₄₄⎦

⎡a₁₁ + a₁₂  a₁₂ + a₁₃  a₁₃ + a₁₄  a₁₁ + a₁₄⎤
⎢                                          ⎥
⎢a₂₁ + a₂₂  a₂₂ + a₂₃  a₂₃ + a₂₄  a₂₁ + a₂₄⎥
⎢                                          ⎥
⎢a₃₁ + a₃₂  a₃₂ + a₃₃  a₃₃ + a₃₄  a₃₁ + a₃₄⎥
⎢                                          ⎥
⎣a₄₁ + a₄₂  a₄₂ + a₄₃  a₄₃ + a₄₄  a₄₁ + a₄₄⎦

a₁₁⋅a₂₂⋅a₃₃⋅a₄₄ - a₁₁⋅a₂₂⋅a₃₄⋅a₄₃ - a₁₁⋅a₂₃⋅a₃₂⋅a₄₄ + a₁₁⋅a₂₃⋅a₃₄⋅a₄₂ + a₁₁⋅a₂
₄⋅a₃₂⋅a₄₃ - a₁₁⋅a₂₄⋅a₃₃⋅a₄₂ - a₁₂⋅a₂₁⋅a₃₃⋅a₄₄ + a₁₂⋅a₂₁⋅a₃₄⋅a₄₃ + a₁₂⋅a₂₃⋅a₃₁⋅
a₄₄ - a₁₂⋅a₂₃⋅a₃₄⋅a₄₁ - a₁₂⋅a₂₄⋅a₃₁⋅a₄₃ + a₁₂⋅a₂₄⋅a₃₃⋅a₄₁ + a₁₃⋅a₂₁⋅a₃₂⋅a₄₄ - 
a₁₃⋅a₂₁⋅a₃₄⋅a₄₂ - a₁₃⋅a₂₂⋅a₃₁⋅a₄₄ + a₁₃⋅a₂₂⋅a₃₄⋅a₄₁ + a₁₃⋅a₂₄⋅a₃₁⋅a₄₂ - a₁₃⋅a₂
₄⋅a₃₂⋅a₄₁ - a₁₄⋅a₂₁⋅a₃₂⋅a₄₃ + a₁₄⋅a₂₁⋅a₃₃⋅a₄₂ + a₁₄⋅a₂₂⋅a₃₁⋅a₄₃ - a₁₄⋅a₂₂⋅a₃₃⋅
a₄₁ - a₁₄⋅a₂₃⋅a₃₁⋅a₄₂ + a₁₄⋅a₂₃⋅a₃₂⋅a₄₁

0

False


$