数学 - Python - 線型代数 - 行列式 - 行列式の計算(行、列についてn重線型かつ交代的、零、3次、展開式)

線型代数入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ)
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第5章(行列式)、6(行列式の計算)、問題1.を取り組んでみる。

1. 1. 
      
      $\begin{array}{}105-30-8\left(45-180\right)\\ =75+8·\; <!--\; middle\; dot\; -->135\\ =75+1080\\ =1155\end{array}$
   2. 
      
      $\begin{array}{}3\left(-9\right)-5\left(-8\right)\\ =-27+40\\ =13\end{array}$
   3. 
      
      $\begin{array}{}3\left(-2-9\right)+2\left(4-3\right)+\left(-6-1\right)\\ =-33+2-7\\ =-38\end{array}$
   4. 
      
      $\begin{array}{}1+4+3·\; <!--\; middle\; dot\; -->3\\ =5+9\\ =14\end{array}$
   5. 
      
      $\begin{array}{}2\left(40-3\right)+9\left(-56+18\right)+4\left(7-30\right)\\ =2·\; <!--\; middle\; dot\; -->37-9·\; <!--\; middle\; dot\; -->38-4·\; <!--\; middle\; dot\; -->23\\ =74-342-92\\ =-360\end{array}$
   6. 
      
      $\begin{array}{}\left(45-48\right)-2\left(36-42\right)+3\left(32-35\right)\\ =-3+12-9\\ =0\end{array}$
   7. 
      
      $\begin{array}{}\det (\begin{array}{cccc}1& 0& -3& 1\\ 3& 0& 1& 2\\ 0& 1& 1& 3\\ 2& -5& 3& 0\end{array})\end{array}=\det (\begin{array}{cccc}1& 0& -3& 1\\ 0& 0& 10& -1\\ 0& 1& 1& 3\\ 0& -5& 9& -2\end{array})\\ =-10\left(-2+15\right)-\left(9+5\right)\\ =-130-14\\ =-144$
   8. 
      
      $\begin{array}{}\det (\begin{array}{cccc}1& 0& -2& 1\\ 0& -2& 1& 1\\ 0& 1& -3& 2\\ 0& 1& 2& -3\end{array})\end{array}=-2\left(9-4\right)-\left(-3-2\right)+\left(2+3\right)\\ =-10+5+5\\ =0$
   9. 
      
      $\begin{array}{}\det (\begin{array}{cccc}0& 1& 2& -3\\ -1& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 2\\ 3& -1& -4& 0\end{array})\end{array}=\det (\begin{array}{cccc}0& 1& 2& 0\\ -1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 2\\ 3& -1& -4& 0\end{array})\\ =\det (\begin{array}{cccc}0& 1& 2& 0\\ -1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 2\\ 3& 0& -2& 0\end{array})\\ =\det (\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ -1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 2\\ 0& 0& -2& 0\end{array})\\ =-\det (\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 2\\ 0& 0& -2& 0\end{array})\\ =4$
   10. 
       
       $\begin{array}{}\det (\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 0& -7& -10& -13\\ 0& -2& -8& -10\\ 0& -1& -2& -7\end{array})\end{array}=-7\left(56-20\right)+10\left(14-10\right)-13\left(4-8\right)\\ =-7·\; <!--\; middle\; dot\; -->36+40+13·\; <!--\; middle\; dot\; -->4\\ =-252+40+52\\ =-160$
   11. 
       
       $\begin{array}{}\det (\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 1& -3& -1& -1\\ 1& 7& 7& -1\\ 10& 9& 8& 7\end{array})\end{array}=\det (\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 0& -5& -4& -5\\ 0& 5& 4& -5\\ 0& -11& -22& -33\end{array})\\ =\det (\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& -10\\ 0& 5& 4& -5\\ 0& -1& -14& -43\end{array})\\ =-10\left(-70+4\right)\\ =660$
   12. 
       
       $\begin{array}{}\det (\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 4& -5& -14& -1\\ 9& -10& -38& -2\\ 16& -17& -66& -15\end{array})\end{array}=\det (\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& -5& -14& -1\\ 0& 0& -10& 0\\ 0& -17& -66& -15\end{array})\\ =-5·\; <!--\; middle\; dot\; -->150-\left(-170\right)\\ =10\left(-75+17\right)\\ =-580$
   13. 
       
       $\begin{array}{}\det (\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0& 1\\ 0& -1& -1& 1& 1\\ 0& 0& 1& 1& 1\\ 0& 1& 1& 1& 0\end{array})\end{array}=\det (\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0& 1\\ 0& -1& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1& 2\\ 0& 1& 1& 1& 0\end{array})\\ =\det (\begin{array}{cccc}0& -1& 0& 1\\ -1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 2\\ 1& 1& 2& 0\end{array})\\ =-\det (\begin{array}{cccc}-1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 2\\ 1& 1& 2& 0\end{array})\\ =-\left(-4\right)+\left(-1\right)\\ =3$
   14. 
       
       $\begin{array}{}\det (\begin{array}{ccccc}1& -2& -3& 0& -5\\ 0& 4& 7& -4& 7\\ 0& -1& -6& 0& -5\\ 0& -8& -17& 5& -18\\ 0& -7& -14& 2& -17\end{array})\end{array}=\det (\begin{array}{cccc}0& 0& -4& 7\\ -1& -1& 0& -5\\ -3& 1& 5& -18\\ -5& 3& 2& -17\end{array})\\ =\det (\begin{array}{cccc}0& 0& -4& 7\\ -1& -1& 0& -5\\ 0& 4& 5& -3\\ 0& 8& 2& 8\end{array})\\ =\det (\begin{array}{ccc}0& -4& 7\\ 4& 5& -3\\ 8& 2& 8\end{array})\\ =\det (\begin{array}{ccc}0& -4& 7\\ 4& 5& -7\\ 8& 2& 0\end{array})\\ =\det (\begin{array}{ccc}0& -4& 7\\ 4& 1& 0\\ 8& 2& 0\end{array})\\ =0$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, Matrix

M1 = Matrix([1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1,
             1, 1, 0]).reshape(5, 5)
M2 = Matrix([[1, -2, -3, 0, -5],
             [2, 0, 1, -4, -3],
             [-2, 3, 0, 0, 5],
             [-5, 2, -2, 5, 7],
             [-3, -1, -5, 2, -2]])
for M in [M1, M2]:
    for t in [M, M.det()]:
        pprint(t)
        print()
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample1.py
⎡1  1  1  0  0⎤
⎢             ⎥
⎢1  1  0  0  1⎥
⎢             ⎥
⎢1  0  0  1  1⎥
⎢             ⎥
⎢0  0  1  1  1⎥
⎢             ⎥
⎣0  1  1  1  0⎦

3


⎡1   -2  -3  0   -5⎤
⎢                  ⎥
⎢2   0   1   -4  -3⎥
⎢                  ⎥
⎢-2  3   0   0   5 ⎥
⎢                  ⎥
⎢-5  2   -2  5   7 ⎥
⎢                  ⎥
⎣-3  -1  -5  2   -2⎦

0


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