数学 - Python - 線型代数 - 行列式 - 行列式の計算(共役複素数、多重線型性)

学習環境

Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプカバー、Surface ペン(端末)
Windows 10 Pro (OS)
Nebo(Windows アプリ)
iPad Pro + Apple Pencil
MyScript Nebo(iPad アプリ)
参考書籍

線型代数入門(松坂和夫(著)、岩波書店)の第5章(行列式)、6(行列式の計算)、問題13.を取り組んでみる。

$\begin{array}{l} \det (\bar{A}) \\ = \det (\bar{(a_{i j})}) \\ = \det (\bar{(x_{i j} + i y_{i j})}) \\ = \det ((x_{i j} - i y_{i j})) \\ = \det ((x_{i j})) - i \det ((y_{i j})) \end{array}$

$\begin{array}{l} \bar{\det A} \\ = \bar{\det ((a_{i j}))} \\ = \bar{\det ((x_{i j} + i y_{i j}))} \\ = \bar{\det ((x_{i j})) + i \det ((y_{i j}))} \\ = \det ((x_{i j})) - i \det ((y_{i j})) \end{array}$

よって、

$\det (\bar{A}) = \bar{\det A}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, I

for n in range(1, 4):
    A = Matrix([[symbols(f'a{i + 1}{j + 1}', real=True) + symbols(
        f'b{i + 1}{j + 1}', real=True) * I for j in range(n)] for i in range(n)])
    D1 = A.conjugate().det()
    D2 = A.det().conjugate()
    for t in [A, A.conjugate(), D1, D2, D1 == D2]:
        pprint(t)
        print()
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample13.py
[a₁₁ + ⅈ⋅b₁₁]

[a₁₁ - ⅈ⋅b₁₁]

a₁₁ - ⅈ⋅b₁₁

a₁₁ - ⅈ⋅b₁₁

True


⎡a₁₁ + ⅈ⋅b₁₁  a₁₂ + ⅈ⋅b₁₂⎤
⎢                        ⎥
⎣a₂₁ + ⅈ⋅b₂₁  a₂₂ + ⅈ⋅b₂₂⎦

⎡a₁₁ - ⅈ⋅b₁₁  a₁₂ - ⅈ⋅b₁₂⎤
⎢                        ⎥
⎣a₂₁ - ⅈ⋅b₂₁  a₂₂ - ⅈ⋅b₂₂⎦

(a₁₁ - ⅈ⋅b₁₁)⋅(a₂₂ - ⅈ⋅b₂₂) - (a₁₂ - ⅈ⋅b₁₂)⋅(a₂₁ - ⅈ⋅b₂₁)

(a₁₁ - ⅈ⋅b₁₁)⋅(a₂₂ - ⅈ⋅b₂₂) - (a₁₂ - ⅈ⋅b₁₂)⋅(a₂₁ - ⅈ⋅b₂₁)

True


⎡a₁₁ + ⅈ⋅b₁₁  a₁₂ + ⅈ⋅b₁₂  a₁₃ + ⅈ⋅b₁₃⎤
⎢                                     ⎥
⎢a₂₁ + ⅈ⋅b₂₁  a₂₂ + ⅈ⋅b₂₂  a₂₃ + ⅈ⋅b₂₃⎥
⎢                                     ⎥
⎣a₃₁ + ⅈ⋅b₃₁  a₃₂ + ⅈ⋅b₃₂  a₃₃ + ⅈ⋅b₃₃⎦

⎡a₁₁ - ⅈ⋅b₁₁  a₁₂ - ⅈ⋅b₁₂  a₁₃ - ⅈ⋅b₁₃⎤
⎢                                     ⎥
⎢a₂₁ - ⅈ⋅b₂₁  a₂₂ - ⅈ⋅b₂₂  a₂₃ - ⅈ⋅b₂₃⎥
⎢                                     ⎥
⎣a₃₁ - ⅈ⋅b₃₁  a₃₂ - ⅈ⋅b₃₂  a₃₃ - ⅈ⋅b₃₃⎦

(a₁₁ - ⅈ⋅b₁₁)⋅(a₂₂ - ⅈ⋅b₂₂)⋅(a₃₃ - ⅈ⋅b₃₃) - (a₁₁ - ⅈ⋅b₁₁)⋅(a₂₃ - ⅈ⋅b₂₃)⋅(a₃₂ -
 ⅈ⋅b₃₂) - (a₁₂ - ⅈ⋅b₁₂)⋅(a₂₁ - ⅈ⋅b₂₁)⋅(a₃₃ - ⅈ⋅b₃₃) + (a₁₂ - ⅈ⋅b₁₂)⋅(a₂₃ - ⅈ⋅b
₂₃)⋅(a₃₁ - ⅈ⋅b₃₁) + (a₁₃ - ⅈ⋅b₁₃)⋅(a₂₁ - ⅈ⋅b₂₁)⋅(a₃₂ - ⅈ⋅b₃₂) - (a₁₃ - ⅈ⋅b₁₃)⋅
(a₂₂ - ⅈ⋅b₂₂)⋅(a₃₁ - ⅈ⋅b₃₁)

(a₁₁ - ⅈ⋅b₁₁)⋅(a₂₂ - ⅈ⋅b₂₂)⋅(a₃₃ - ⅈ⋅b₃₃) - (a₁₁ - ⅈ⋅b₁₁)⋅(a₂₃ - ⅈ⋅b₂₃)⋅(a₃₂ -
 ⅈ⋅b₃₂) - (a₁₂ - ⅈ⋅b₁₂)⋅(a₂₁ - ⅈ⋅b₂₁)⋅(a₃₃ - ⅈ⋅b₃₃) + (a₁₂ - ⅈ⋅b₁₂)⋅(a₂₃ - ⅈ⋅b
₂₃)⋅(a₃₁ - ⅈ⋅b₃₁) + (a₁₃ - ⅈ⋅b₁₃)⋅(a₂₁ - ⅈ⋅b₂₁)⋅(a₃₂ - ⅈ⋅b₃₂) - (a₁₃ - ⅈ⋅b₁₃)⋅
(a₂₂ - ⅈ⋅b₂₂)⋅(a₃₁ - ⅈ⋅b₃₁)

True


$

Kamimura's blog

2018年1月27日土曜日

数学 - Python - 線型代数 - 行列式 - 行列式の計算(共役複素数、多重線型性)

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