数学 - Python - 線型代数 - 行列式 - 積の行列式(積の行列式と行列式の積、転置行列、係数)

線型代数入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ)
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第5章(行列式)、7(積の行列式)、問題1.を取り組んでみる。

1. 
   
   $\begin{array}{}(\begin{array}{cccc}a& b& c& d\\ -b& a& -d& c\\ -c& d& a& -b\\ -d& -c& b& a\end{array})\end{array}(\begin{array}{cccc}a& -b& -c& -d\\ b& a& d& -c\\ c& -d& a& b\\ d& c& -b& a\end{array})=(\begin{array}{cccc}{a}^2+b^2+c^2+d^2& 0& 0& 0\\ 0& a^2+b^2+c^2+d^2& 0& 0\\ 0& 0& a^2+b^2+c^2+d^2& 0\\ 0& 0& 0& a^2+b^2+c^2+d^2\end{array})$
   $\begin{array}{}\det \left(A{A}^T\right)={\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)}^4\\ \det \left(A{A}^T\right)=\det A\det A^T=\det A\det A={\left(\det A\right)}^2\end{array}$

   よって、

   $\begin{array}{}{\left(\det A\right)}^2={\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)}^4\\ \det A={\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)}^2\end{array}$

   (aの4乘の係数は1。)

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, I

a, b, c, d = symbols('a, b, c, d')
A = Matrix([[a, b, c, d],
            [-b, a, -d, c],
            [-c, d, a, -b],
            [-d, -c, b, a]])

for t in [A, A.T, A * A.T, A.det(), A.det().factor()]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample1.py
⎡a   b   c   d ⎤
⎢              ⎥
⎢-b  a   -d  c ⎥
⎢              ⎥
⎢-c  d   a   -b⎥
⎢              ⎥
⎣-d  -c  b   a ⎦

⎡a  -b  -c  -d⎤
⎢             ⎥
⎢b  a   d   -c⎥
⎢             ⎥
⎢c  -d  a   b ⎥
⎢             ⎥
⎣d  c   -b  a ⎦

⎡ 2    2    2    2                                                         ⎤
⎢a  + b  + c  + d           0                  0                  0        ⎥
⎢                                                                          ⎥
⎢                    2    2    2    2                                      ⎥
⎢        0          a  + b  + c  + d           0                  0        ⎥
⎢                                                                          ⎥
⎢                                       2    2    2    2                   ⎥
⎢        0                  0          a  + b  + c  + d           0        ⎥
⎢                                                                          ⎥
⎢                                                          2    2    2    2⎥
⎣        0                  0                  0          a  + b  + c  + d ⎦

 4      2  2      2  2      2  2    4      2  2      2  2    4      2  2    4
a  + 2⋅a ⋅b  + 2⋅a ⋅c  + 2⋅a ⋅d  + b  + 2⋅b ⋅c  + 2⋅b ⋅d  + c  + 2⋅c ⋅d  + d 

                   2
⎛ 2    2    2    2⎞ 
⎝a  + b  + c  + d ⎠ 

$