学習環境
- Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
- Windows 10 Pro (OS)
- Nebo(Windows アプリ)
- iPad Pro + Apple Pencil
- MyScript Nebo(iPad アプリ)
- 参考書籍
解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第14章(多変数の関数)、14.2(高次偏導関数、テイラーの定理)、問題2-(d).を取り組んでみる。
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∂f∂x=-12(x2+y2+z2)-122xx2+y2+z2=-x(x2+y2+z2)32∂2f∂x2=-(x2+y2+z2)32+x·32(x2+y2+z2)12·2x(x2+y2+z2)3=-x2-y2-z2+3x2(x2+y2+z2)52=2x2-y2-z2(x2+y2+z2)52∂2f∂y2=2y2-z2-x2(x2+y2+z2)52∂2f∂z2=2z2-x2-y2(x2+y2+z2)52よって、
Δf=0ゆえに、 問題の関数は調和関数である。
(証明終)
コード(Emacs)
Python 3
#!/usr/bin/env python3 from sympy import pprint, symbols, sqrt, Derivative x, y, z, t = symbols('x, y, z, t') xs = [x, y, z] f = 1 / sqrt(x ** 2 + y ** 2 + z ** 2) Ds = [Derivative(f, t, n) for n in range(1, 3)] for D in Ds: for t0 in xs: D = D.subs({t: t0}) for s in [D, D.doit()]: pprint(s) print() print() print() pprint(sum([Ds[1].subs({t: t0}).doit() for t0 in xs]).factor())
入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))
$ ./sample2.py ∂ ⎛ 1 ⎞ ──⎜─────────────────⎟ ∂x⎜ ______________⎟ ⎜ ╱ 2 2 2 ⎟ ⎝╲╱ x + y + z ⎠ -x ───────────────── 3/2 ⎛ 2 2 2⎞ ⎝x + y + z ⎠ ∂ ⎛ 1 ⎞ ──⎜─────────────────⎟ ∂x⎜ ______________⎟ ⎜ ╱ 2 2 2 ⎟ ⎝╲╱ x + y + z ⎠ -x ───────────────── 3/2 ⎛ 2 2 2⎞ ⎝x + y + z ⎠ ∂ ⎛ 1 ⎞ ──⎜─────────────────⎟ ∂x⎜ ______________⎟ ⎜ ╱ 2 2 2 ⎟ ⎝╲╱ x + y + z ⎠ -x ───────────────── 3/2 ⎛ 2 2 2⎞ ⎝x + y + z ⎠ 2 ∂ ⎛ 1 ⎞ ───⎜─────────────────⎟ 2⎜ ______________⎟ ∂x ⎜ ╱ 2 2 2 ⎟ ⎝╲╱ x + y + z ⎠ 2 3⋅x ──────────── - 1 2 2 2 x + y + z ───────────────── 3/2 ⎛ 2 2 2⎞ ⎝x + y + z ⎠ 2 ∂ ⎛ 1 ⎞ ───⎜─────────────────⎟ 2⎜ ______________⎟ ∂x ⎜ ╱ 2 2 2 ⎟ ⎝╲╱ x + y + z ⎠ 2 3⋅x ──────────── - 1 2 2 2 x + y + z ───────────────── 3/2 ⎛ 2 2 2⎞ ⎝x + y + z ⎠ 2 ∂ ⎛ 1 ⎞ ───⎜─────────────────⎟ 2⎜ ______________⎟ ∂x ⎜ ╱ 2 2 2 ⎟ ⎝╲╱ x + y + z ⎠ 2 3⋅x ──────────── - 1 2 2 2 x + y + z ───────────────── 3/2 ⎛ 2 2 2⎞ ⎝x + y + z ⎠ 0 $
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