数学 - Python - 解析学 - 多変数の関数 - 高次偏導関数、テイラーの定理(逆数、平方根、ラプラス演算子(ラプラシアン)、調和関数)

解析入門〈3〉

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解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第14章(多変数の関数)、14.2(高次偏導関数、テイラーの定理)、問題2-(d).を取り組んでみる。

2. 4. 
      
      $\frac{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->f}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->x}=\frac{-\frac{1}{2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)}^{-\frac{1}{2}}2x}{x^2+y^2+z^2}=\frac{-x}{{\left(x^2+y^2+z^2\right)}^{\frac{3}{2}}}$
      $\begin{array}{}\frac{{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->}^{2}f}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->x^2}=\frac{-{\left(x^2+y^2+z^2\right)}^{\frac{3}{2}}+x·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{3}{2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)}^{\frac{1}{2}}·\; <!--\; middle\; dot\; -->2x}{{\left(x^2+y^2+z^2\right)}^3}\\ =\frac{-x^2-y^2-z^2+3x^2}{{\left(x^2+y^2+z^2\right)}^{\frac{5}{2}}}\\ =\frac{2x^2-y^2-z^2}{{\left(x^2+y^2+z^2\right)}^{\frac{5}{2}}}\end{array}$
      $\frac{{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->}^{2}f}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->y^2}=\frac{2y^2-z^2-x^2}{{\left(x^2+y^2+z^2\right)}^{\frac{5}{2}}}$
      $\frac{{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->}^{2}f}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->z^2}=\frac{2z^2-x^2-y^2}{{\left(x^2+y^2+z^2\right)}^{\frac{5}{2}}}$

      よって、

      $\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}f=0$

      ゆえに、 問題の関数は調和関数である。

      （証明終）

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, sqrt, Derivative

x, y, z, t = symbols('x, y, z, t')
xs = [x, y, z]
f = 1 / sqrt(x ** 2 + y ** 2 + z ** 2)
Ds = [Derivative(f, t, n) for n in range(1, 3)]

for D in Ds:
    for t0 in xs:
        D = D.subs({t: t0})
        for s in [D, D.doit()]:
            pprint(s)
            print()
        print()
    print()

pprint(sum([Ds[1].subs({t: t0}).doit() for t0 in xs]).factor())

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample2.py
∂ ⎛        1        ⎞
──⎜─────────────────⎟
∂x⎜   ______________⎟
  ⎜  ╱  2    2    2 ⎟
  ⎝╲╱  x  + y  + z  ⎠

       -x        
─────────────────
              3/2
⎛ 2    2    2⎞   
⎝x  + y  + z ⎠   


∂ ⎛        1        ⎞
──⎜─────────────────⎟
∂x⎜   ______________⎟
  ⎜  ╱  2    2    2 ⎟
  ⎝╲╱  x  + y  + z  ⎠

       -x        
─────────────────
              3/2
⎛ 2    2    2⎞   
⎝x  + y  + z ⎠   


∂ ⎛        1        ⎞
──⎜─────────────────⎟
∂x⎜   ______________⎟
  ⎜  ╱  2    2    2 ⎟
  ⎝╲╱  x  + y  + z  ⎠

       -x        
─────────────────
              3/2
⎛ 2    2    2⎞   
⎝x  + y  + z ⎠   



  2                   
 ∂ ⎛        1        ⎞
───⎜─────────────────⎟
  2⎜   ______________⎟
∂x ⎜  ╱  2    2    2 ⎟
   ⎝╲╱  x  + y  + z  ⎠

        2        
     3⋅x         
 ──────────── - 1
  2    2    2    
 x  + y  + z     
─────────────────
              3/2
⎛ 2    2    2⎞   
⎝x  + y  + z ⎠   


  2                   
 ∂ ⎛        1        ⎞
───⎜─────────────────⎟
  2⎜   ______________⎟
∂x ⎜  ╱  2    2    2 ⎟
   ⎝╲╱  x  + y  + z  ⎠

        2        
     3⋅x         
 ──────────── - 1
  2    2    2    
 x  + y  + z     
─────────────────
              3/2
⎛ 2    2    2⎞   
⎝x  + y  + z ⎠   


  2                   
 ∂ ⎛        1        ⎞
───⎜─────────────────⎟
  2⎜   ______________⎟
∂x ⎜  ╱  2    2    2 ⎟
   ⎝╲╱  x  + y  + z  ⎠

        2        
     3⋅x         
 ──────────── - 1
  2    2    2    
 x  + y  + z     
─────────────────
              3/2
⎛ 2    2    2⎞   
⎝x  + y  + z ⎠   



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