数学 - 線形代数学 - 線形写像 – 線形写像(1次独立、三角形、凸集合)

ラング線形代数学(上)
原著

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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の4章(線形写像)、2(線形写像)、練習問題21-(a).を取り組んでみる。

21. 1. 
       

       P、 Q を三角形 の2点とする。

       $\begin{array}{}P=t_{1}A+t_{2}B+t_{3}C\\ Q=s_{1}A+s_{2}B+s_{3}C\\ t_1+t_2+t_3=s_1+s_2+s_3=|\end{array}$
       $\begin{array}{}0\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->t\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->1\\ tP+\left(1-t\right)Q\\ =\left(t{t}_1+s_1\left(1-t\right)\right)A+\left(t{t}_2+s_2\left(1-t\right)\right)B+\left(t{t}_3+s_3\left(1-t\right)\right)B\end{array}$
       $\begin{array}{}t{t}_1+s_1\left(1-t\right)+t{t}_2+s_2\left(1-t\right)+t{t}_3+s_3\left(1-t\right)\\ =t\left(t_1+t_2+t_3\right)+s_1+s_2+s_3-t\left(s_1+s_2+s_3\right)\\ =t+1-t\\ =1\end{array}$

       よって、

       $tP+\left(1-t\right)Q$

       は三角形の点である。
       ゆえに、三角形は凸集合である。