数学 - 線形代数学 - 線形写像 – 線形写像の核と像(値域と像、全射、同次元、全射、核、基底)

ラング線形代数学(上)
原著

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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の4章(線形写像)、3(線形写像の核と像)、練習問題4.を取り組んでみる。

4. 
   

   W の任意の元 w に対して、

   $F\left(v\right)=w$

   となる v が存在する。

   また、 V の基底を

   $\left\{v_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,v_n\right\}$

   とする。

   $v=x_1{v}_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+x_n{v}_n$

   とおく。

   このとき、

   $x_{1}F\left(v_1\right)+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+x_{n}F\left(v_n\right)=w$

   よって、 W の基底は

   $\left\{F\left(v_1\right),\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,F\left(v_n\right)\right\}$

   u を F の核の任意の元とする。

   $\begin{array}{}u=y_1{v}_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+y_n{v}_n\\ y_{1}F\left(v_1\right)+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+y_{n}F\left(v_n\right)=O\end{array}$

   このとき

   $y_1=\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->=y_n=0$

   ゆえに、

   $u=O$

   以上より、 F の核は

   $\left\{O\right\}$

   である。