数学 - Python - 線型代数 - 行列式 - 余因子行列と逆行列(2次正方行列)

線型代数入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ)
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第5章(行列式)、8(余因子行列と逆行列)、問題1.を取り組んでみる。

1. 
   
   $\begin{array}{}{\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}}_{11}={\left(-1\right)}^{1+1}d=d\\ {\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}}_{12}={\left(-1\right)}^{1+2}c=-c\\ {\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}}_{21}={\left(-1\right)}^{2+1}b=-b\\ {\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}}_{22}={\left(-1\right)}^{2-12}a=a\\ \det A=ad-bc\end{array}$

   よって、 余因子行列は、

   $(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array})$

   ゆえに、求める逆行列は、

   $A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array})$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix

a, b, c, d = symbols('a, b, c, d')
A = Matrix([[a, b],
            [c, d]])

for t in [A, A ** -1]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample1.py
⎡a  b⎤
⎢    ⎥
⎣c  d⎦

⎡    d         -b    ⎤
⎢─────────  ─────────⎥
⎢a⋅d - b⋅c  a⋅d - b⋅c⎥
⎢                    ⎥
⎢   -c          a    ⎥
⎢─────────  ─────────⎥
⎣a⋅d - b⋅c  a⋅d - b⋅c⎦

$