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2018年2月8日木曜日

学習環境

解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第14章(多変数の関数)、14.2(高次偏導関数、テイラーの定理)、問題7.を取り組んでみる。


  1. zx=f'(x+ay)+g'(x-ay)2zx2=f''(x+ay)+g''(x-ay)zy=af'(x+ay)-ag'(x-ay)2zy2=a2f''(x+ay)+a2g''(x-ay)

    よって、

    a22zx2=2zy2

    逆に、この関係を満たす関数 f について。

    z=f(x,y)
    u=x+ayv=x-ay

    とおく。

    2x=u+vx=u+v2y=u-v2a

    よって、

    zv=(zx,zy)·(12,-12a)=12(zx-1azy)zuv=12(2zx2-1a2zxy,2zxy-1a2zy2)·(12,12a)=14(2zx2-1a2zxy+1a2zxy-1a22zy2)=14(2zx2-1a22zy2)=14·0=0

    ゆえに、

    z=f(u)+g(v)=f(x+ay)+g(x-ay)(a0)

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Derivative, Function

a, x, y = symbols('a, x, y')
z = Function('f')(x + a * y) + Function('g')(x - a * y)
l = a ** 2 * Derivative(z, x, 2)
r = Derivative(z, y, 2)
for t in [z, l, l.doit(), r, r.doit(), l.doit() == r.doit()]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample7.py
f(a⋅y + x) + g(-a⋅y + x)

     2                          
 2  ∂                           
a ⋅───(f(a⋅y + x) + g(-a⋅y + x))
     2                          
   ∂x                           

   ⎛⎛  2        ⎞│             ⎛  2        ⎞│           ⎞
 2 ⎜⎜ d         ⎟│             ⎜ d         ⎟│           ⎟
a ⋅⎜⎜────(f(ξ₁))⎟│           + ⎜────(g(ξ₁))⎟│           ⎟
   ⎜⎜   2       ⎟│             ⎜   2       ⎟│           ⎟
   ⎝⎝dξ₁        ⎠│ξ₁=a⋅y + x   ⎝dξ₁        ⎠│ξ₁=-a⋅y + x⎠

  2                          
 ∂                           
───(f(a⋅y + x) + g(-a⋅y + x))
  2                          
∂y                           

   ⎛⎛  2        ⎞│             ⎛  2        ⎞│           ⎞
 2 ⎜⎜ d         ⎟│             ⎜ d         ⎟│           ⎟
a ⋅⎜⎜────(f(ξ₁))⎟│           + ⎜────(g(ξ₁))⎟│           ⎟
   ⎜⎜   2       ⎟│             ⎜   2       ⎟│           ⎟
   ⎝⎝dξ₁        ⎠│ξ₁=a⋅y + x   ⎝dξ₁        ⎠│ξ₁=-a⋅y + x⎠

True

$

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