学習環境
- Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
- Windows 10 Pro (OS)
- Nebo(Windows アプリ)
- iPad Pro + Apple Pencil
- MyScript Nebo(iPad アプリ)
- 参考書籍
解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第14章(多変数の関数)、14.2(高次偏導関数、テイラーの定理)、問題7.を取り組んでみる。
∂z∂x=f'(x+ay)+g'(x-ay)∂2z∂x2=f''(x+ay)+g''(x-ay)∂z∂y=af'(x+ay)-ag'(x-ay)∂2z∂y2=a2f''(x+ay)+a2g''(x-ay)よって、
a2∂2z∂x2=∂2z∂y2逆に、この関係を満たす関数 f について。
z=f(x,y)u=x+ayv=x-ayとおく。
2x=u+vx=u+v2y=u-v2aよって、
∂z∂v=(∂z∂x,∂z∂y)·(12,-12a)=12(∂z∂x-1a∂z∂y)∂z∂u∂v=12(∂2z∂x2-1a∂2z∂x∂y,∂2z∂x∂y-1a∂2z∂y2)·(12,12a)=14(∂2z∂x2-1a∂2z∂x∂y+1a∂2z∂x∂y-1a2∂2z∂y2)=14(∂2z∂x2-1a2∂2z∂y2)=14·0=0ゆえに、
z=f(u)+g(v)=f(x+ay)+g(x-ay)(a≠0)
コード(Emacs)
Python 3
#!/usr/bin/env python3 from sympy import pprint, symbols, Derivative, Function a, x, y = symbols('a, x, y') z = Function('f')(x + a * y) + Function('g')(x - a * y) l = a ** 2 * Derivative(z, x, 2) r = Derivative(z, y, 2) for t in [z, l, l.doit(), r, r.doit(), l.doit() == r.doit()]: pprint(t) print()
入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))
$ ./sample7.py f(a⋅y + x) + g(-a⋅y + x) 2 2 ∂ a ⋅───(f(a⋅y + x) + g(-a⋅y + x)) 2 ∂x ⎛⎛ 2 ⎞│ ⎛ 2 ⎞│ ⎞ 2 ⎜⎜ d ⎟│ ⎜ d ⎟│ ⎟ a ⋅⎜⎜────(f(ξ₁))⎟│ + ⎜────(g(ξ₁))⎟│ ⎟ ⎜⎜ 2 ⎟│ ⎜ 2 ⎟│ ⎟ ⎝⎝dξ₁ ⎠│ξ₁=a⋅y + x ⎝dξ₁ ⎠│ξ₁=-a⋅y + x⎠ 2 ∂ ───(f(a⋅y + x) + g(-a⋅y + x)) 2 ∂y ⎛⎛ 2 ⎞│ ⎛ 2 ⎞│ ⎞ 2 ⎜⎜ d ⎟│ ⎜ d ⎟│ ⎟ a ⋅⎜⎜────(f(ξ₁))⎟│ + ⎜────(g(ξ₁))⎟│ ⎟ ⎜⎜ 2 ⎟│ ⎜ 2 ⎟│ ⎟ ⎝⎝dξ₁ ⎠│ξ₁=a⋅y + x ⎝dξ₁ ⎠│ξ₁=-a⋅y + x⎠ True $
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