数学 - Python - 解析学 - 多変数の関数 - 高次偏導関数、テイラーの定理(三角関数(余弦)、指数関数、ラプラス演算子(ラプラシアン)、調和関数)

解析入門〈3〉

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解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第14章(多変数の関数)、14.2(高次偏導関数、テイラーの定理)、問題2-(3).を取り組んでみる。

2. 5. 
      
      $\frac{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->f}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->x}=3e^{3x+4y}\cos 5z$
      $\frac{{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->}^{2}f}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->x^2}=9e^{3x+4y}\cos 5z$
      $\frac{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->f}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->y}=4e^{3x+4y}\cos 5z$
      $\frac{{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->}^{2}f}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->y^2}=16e^{3x+4y}\cos 5z$
      $\frac{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->f}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->z}=-5e^{3x+4y}\sin 5z$
      $\frac{{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->}^{2}f}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->z^2}=-25e^{3x+4y}\cos 5z$

      よって、

      $\mathrm{△\; <!--\; latex:\; \backslash triangle\; -->}f=e^{3x+4y}\left(9\cos 5z+16\cos 5z-25\cos 5z\right)=0$

      ゆえに、 問題の関数は調和関数である。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, exp, cos, Derivative

x, y, z, t = symbols('x, y, z, t')
xs = [x, y, z]
f = exp(3 * x + 4 * y) * cos(5 * z)
Ds = [Derivative(f, t, n) for n in range(1, 3)]

for D in Ds:
    for t0 in xs:
        D = D.subs({t: t0})
        for s in [D, D.doit()]:
            pprint(s)
            print()
        print()
    print()

pprint(sum([Ds[1].subs({t: t0}).doit() for t0 in xs]).factor())

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample2.py
∂ ⎛ 3⋅x + 4⋅y         ⎞
──⎝ℯ         ⋅cos(5⋅z)⎠
∂x                     

   3⋅x + 4⋅y         
3⋅ℯ         ⋅cos(5⋅z)


∂ ⎛ 3⋅x + 4⋅y         ⎞
──⎝ℯ         ⋅cos(5⋅z)⎠
∂x                     

   3⋅x + 4⋅y         
3⋅ℯ         ⋅cos(5⋅z)


∂ ⎛ 3⋅x + 4⋅y         ⎞
──⎝ℯ         ⋅cos(5⋅z)⎠
∂x                     

   3⋅x + 4⋅y         
3⋅ℯ         ⋅cos(5⋅z)



  2                     
 ∂ ⎛ 3⋅x + 4⋅y         ⎞
───⎝ℯ         ⋅cos(5⋅z)⎠
  2                     
∂x                      

   3⋅x + 4⋅y         
9⋅ℯ         ⋅cos(5⋅z)


  2                     
 ∂ ⎛ 3⋅x + 4⋅y         ⎞
───⎝ℯ         ⋅cos(5⋅z)⎠
  2                     
∂x                      

   3⋅x + 4⋅y         
9⋅ℯ         ⋅cos(5⋅z)


  2                     
 ∂ ⎛ 3⋅x + 4⋅y         ⎞
───⎝ℯ         ⋅cos(5⋅z)⎠
  2                     
∂x                      

   3⋅x + 4⋅y         
9⋅ℯ         ⋅cos(5⋅z)



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