数学 - Python - 線型代数 - 行列式 - 余因子行列と逆行列(虚数単位)

線型代数入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ)
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第5章(行列式)、8(余因子行列と逆行列)、問題3-(a).を取り組んでみる。

3. 
   
   1. 
      

      余因子。

      $\begin{array}{}{\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}}_{11}={\left(-1\right)}^{1+1}\left(1-1\right)=0\\ {\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}}_{12}={\left(-1\right)}^{1+2}\left(-i-1\right)=1+i\\ {\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}}_{13}={\left(-1\right)}^{1+3}\left(-1+i\right)=-1+i\\ {\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}}_{21}={\left(-1\right)}^{2+1}\left(i-1\right)=1-i\\ {\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}}_{22}={\left(-1\right)}^{2+2}\left(1-1\right)=0\\ {\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}}_{23}={\left(-1\right)}^{2+3}\left(-i-1\right)=1+i\\ {\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}}_{31}={\left(-1\right)}^{3+1}\left(-1-i\right)=-1-i\\ {\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}}_{32}={\left(-1\right)}^{3+2}\left(i-1\right)=1-i\\ {\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}}_{33}={\left(-1\right)}^{3+3}\left(1-1\right)=0\end{array}$

      行列式。

      $\begin{array}{}\det A\\ =\left(1+i-i\right)-\left(1+1+1\right)\\ =-2\end{array}$

      よって、求める逆行列は

      $A^{-1}=-\frac{1}{2}(\begin{array}{ccc}0& 1-i& -1-i\\ 1+i& 0& 1-i\\ -1+i& 1+i& 0\end{array})$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, I, Matrix, Rational

A = Matrix([[1, I, I],
            [-I, 1, I],
            [-I, -I, 1]])
A1 = -Rational(1, 2) * Matrix([[0, 1 - I, -1 - I],
                               [1 + I, 0, 1 - I],
                               [-1 + I, 1 + I, 0]])
for t in [A, A1, A * A1, A ** -1]:
    pprint(t.expand())
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample3.py
⎡1   ⅈ   ⅈ⎤
⎢         ⎥
⎢-ⅈ  1   ⅈ⎥
⎢         ⎥
⎣-ⅈ  -ⅈ  1⎦

⎡           1   ⅈ   1   ⅈ ⎤
⎢   0     - ─ + ─   ─ + ─ ⎥
⎢           2   2   2   2 ⎥
⎢                         ⎥
⎢  1   ⅈ             1   ⅈ⎥
⎢- ─ - ─     0     - ─ + ─⎥
⎢  2   2             2   2⎥
⎢                         ⎥
⎢ 1   ⅈ     1   ⅈ         ⎥
⎢ ─ - ─   - ─ - ─     0   ⎥
⎣ 2   2     2   2         ⎦

⎡1  0  0⎤
⎢       ⎥
⎢0  1  0⎥
⎢       ⎥
⎣0  0  1⎦

⎡           1   ⅈ   1   ⅈ ⎤
⎢   0     - ─ + ─   ─ + ─ ⎥
⎢           2   2   2   2 ⎥
⎢                         ⎥
⎢  1   ⅈ             1   ⅈ⎥
⎢- ─ - ─     0     - ─ + ─⎥
⎢  2   2             2   2⎥
⎢                         ⎥
⎢ 1   ⅈ     1   ⅈ         ⎥
⎢ ─ - ─   - ─ - ─     0   ⎥
⎣ 2   2     2   2         ⎦

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