数学 - Python - 線型代数 - 行列式 - 余因子行列と逆行列(ルート(平方根)、逆数)

線型代数入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ)
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第5章(行列式)、8(余因子行列と逆行列)、問題3-(b).を取り組んでみる。

3. 
   
   2. 
      

      余因子。

      $\begin{array}{}{\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}}_{11}={\left(-1\right)}^{1+1}\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2}\\ {\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}}_{12}={\left(-1\right)}^{1+2}\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\\ {\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}}_{13}={\left(-1\right)}^{1+3}\left(\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\\ {\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}}_{21}={\left(-1\right)}^{2+1}\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\\ {\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}}_{22}={\left(-1\right)}^{2+2}\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2}\\ {\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}}_{23}={\left(-1\right)}^{2+3}\left(-\frac{1}{2\sqrt{2}}-\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\\ {\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}}_{31}={\left(-1\right)}^{3+1}\left(\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\\ {\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}}_{32}={\left(-1\right)}^{3+2}\left(-\frac{1}{2\sqrt{2}}-\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\\ {\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}}_{33}={\left(-1\right)}^{3+3}\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\right)=0\end{array}$

      行列式。

      $\det A=\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)-\left(-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\right)=1$

      よって、求める逆行列は、

      $A^{-1}=(\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2}& \frac{1}{2}& \frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{2}& -\frac{1}{2}& \frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}& 0\end{array})$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, sqrt, Matrix, Rational

A = Matrix([[-Rational(1, 2), Rational(1, 2), 1 / sqrt(2)],
            [Rational(1, 2), -Rational(1, 2), 1 / sqrt(2)],
            [1 / sqrt(2), 1 / sqrt(2), 0]])
A1 = Matrix([[-Rational(1, 2), Rational(1, 2), 1 / sqrt(2)],
             [Rational(1, 2), -Rational(1, 2), 1 / sqrt(2)],
             [1 / sqrt(2), 1 / sqrt(2), 0]])
for t in [A, A1, A * A1, A ** -1]:
    pprint(t.expand())
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample3.py
⎡            √2⎤
⎢-1/2  1/2   ──⎥
⎢            2 ⎥
⎢              ⎥
⎢            √2⎥
⎢1/2   -1/2  ──⎥
⎢            2 ⎥
⎢              ⎥
⎢ √2    √2     ⎥
⎢ ──    ──   0 ⎥
⎣ 2     2      ⎦

⎡            √2⎤
⎢-1/2  1/2   ──⎥
⎢            2 ⎥
⎢              ⎥
⎢            √2⎥
⎢1/2   -1/2  ──⎥
⎢            2 ⎥
⎢              ⎥
⎢ √2    √2     ⎥
⎢ ──    ──   0 ⎥
⎣ 2     2      ⎦

⎡1  0  0⎤
⎢       ⎥
⎢0  1  0⎥
⎢       ⎥
⎣0  0  1⎦

⎡            √2⎤
⎢-1/2  1/2   ──⎥
⎢            2 ⎥
⎢              ⎥
⎢            √2⎥
⎢1/2   -1/2  ──⎥
⎢            2 ⎥
⎢              ⎥
⎢ √2    √2     ⎥
⎢ ──    ──   0 ⎥
⎣ 2     2      ⎦

$