数学 - 数学の中の女王 - 数論へのプレリュード – 合同式 - 合同式の加法・減法・乗法(和と差に関する合同式の証明)

数学読本〈6〉

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数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュード/εとδ/落ち穂拾い など(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第23章(数学の中の女王 - 数論へのプレリュード)、23.2(合同式)、合同式の加法・減法・乗法、和と差に関する合同式の証明.を取り組んでみる。

$\begin{array}{}\left(a+b\right)-\left(a\text{'}+b\text{'}\right)\\ =\left(a-a\text{'}\right)+\left(b-b\text{'}\right)\\ =nt+ns\end{array}$

よって、

$a+b\equiv \; <!--\; identical\; to\; -->a\text{'}-b\text{'}\left(modn\right)$

和についての証明終了。

差について。

$\begin{array}{}\left(a-b\right)-\left(a\text{'}-b\text{'}\right)\\ =\left(a-a\text{'}\right)-\left(b-b\text{'}\right)\\ =ns-nt\\ =n\left(s-t\right)\end{array}$

よって、

$a-b\equiv \; <!--\; identical\; to\; -->a\text{'}-b\text{'}\left(modn\right)$

（証明終）