数学 - 数学の中の女王 - 数論へのプレリュード – 算術の基本定理 - 二、三の簡単な応用(互いに素、既約分数、n乗根(べき乗根)、無理数)

数学読本〈6〉

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数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュード/εとδ/落ち穂拾い など(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第23章(数学の中の女王 - 数論へのプレリュード)、23.1(算術の基本定理)、二、三の簡単な応用、問1.を取り組んでみる。

1. 
   
   $\begin{array}{}a,b\in \; <!--\; element\; of\; -->{\text{ℤ <!-- double-struck capital Z -->}}^{+}\\ \sqrt[n]{k}=\frac{a}{b}\\ \left(a,b\right)=1\\ b\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->1\end{array}$

   (a、 b は互いに素な整数。）

   と仮定する。

   このとき、

   $\begin{array}{}k=\frac{a^n}{b^n}\\ a^n=k{b}^n\end{array}$

   p を b の1つの素因数とする。

   $p|a$

   よって、

   $\left(a,b\right)\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->1$

   このことは、仮定と矛盾する。

   よって、

   $\sqrt[n]{k}$

   は無理数である。