数学 - 解析学 - 多変数の関数 - 陰関数(第2次導関数、グラディエント、内積、偏微分)

解析入門〈3〉

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解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第14章(多変数の関数)、14.4(陰関数)、問題1.を取り組んでみる。

1. 
   
   $\begin{array}{}g\text{'}\text{'}\left(x\right)\\ =-\frac{\frac{d}{\mathrm{dx}}{D}_{1}f·\; <!--\; middle\; dot\; -->D_{2}f-D_{1}f·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{d}{\mathrm{dx}}{D}_{2}f}{{\left(D_{2}f\right)}^2}\\ =-\frac{\left(D_1^{2}f,D_2{D}_{1}f\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(1,g\text{'}\left(x\right)\right)D_{2}f-D_{1}f\left(D_1{D}_{2}f,D_2^{2}f\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(1,g\text{'}\left(x\right)\right)}{{\left(D_{2}f\right)}^2}\\ =-\frac{\left(D_1^{2}f+D_2{D}_{1}f·\; <!--\; middle\; dot\; -->g\text{'}\left(x\right)\right)D_{2}f-D_{1}f\left(D_1{D}_{2}f+D_2^{2}f·\; <!--\; middle\; dot\; -->g\text{'}\left(x\right)\right)}{{\left(D_{2}f\right)}^2}\\ =-\frac{\left(D_1^{2}f+\left(D_2{D}_{1}f\right)\left(-\frac{D_{1}f}{D_{2}f}\right)\right)D_{2}f-D_{1}f\left(D_1{D}_{2}f+D_2^{2}f\left(-\frac{D_{1}f}{D_{2}f}\right)\right)}{{\left(D_{2}f\right)}^2}\\ =\frac{-\left(D_1^{2}f\right){\left(D_{2}f\right)}^2+\left(D_2{D}_{1}f\right)\left(D_{1}f\right)\left(D_{2}f\right)+\left(D_{1}f\right)\left(D_1{D}_{2}f\right)\left(D_{2}f\right)-\left(D_2^{2}f\right){\left(D_{1}f\right)}^2}{{\left(D_{2}f\right)}^3}\\ =\frac{-\left(D_1^{2}f\right){\left(D_{2}f\right)}^2+2\left(D_1{D}_{2}f\right)\left(D_{1}f\right)\left(D_{2}f\right)-\left(D_2^{2}f\right){\left(D_{1}f\right)}^2}{{\left(D_{2}f\right)}^3}\end{array}$