数学 - 解析学の基礎へのアプローチ - εとδ – 数列の極限 - 数列の極限(厳密な定義、証明)

数学読本〈6〉

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数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュード/εとδ/落ち穂拾い など(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第25章(解析学の基礎へのアプローチ - εとδ)、25.1(数列の極限)、数列の極限、問2.を取り組んでみる。

2. 
   
   $\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}$

   を任意の正の数とする。

   問題の仮定

   $\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }{a}_n=\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}>0$

   より、任意の

   ${\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}_0>0$

   に対して、ある

   $N\in \; <!--\; element\; of\; -->\text{ℕ <!-- double-struck capital N -->}$

   が存在して、

   $n\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->N\Rightarrow \; <!--\; rightwards\; double\; arrow\; -->\left|a_n-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right|<{\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}_0$

   が成り立つ。

   $n\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->N$

   のとき、

   $\begin{array}{}\left|\sqrt{a_n}-\sqrt{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\right|\\ =\left|\frac{\left(\sqrt{a_n}-\sqrt{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\right)\left(\sqrt{a_n}+\sqrt{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\right)}{\sqrt{a_n}+\sqrt{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}}\right|\\ =\frac{\left|a_n-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right|}{\sqrt{a_n}+\sqrt{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}}\\ <\frac{{\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}_0}{\sqrt{a_n}+\sqrt{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}}\\ <\frac{{\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}_0}{\sqrt{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}}\end{array}$

   よって、

   ${\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}_0=\sqrt{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}$

   とおけば、

   $n\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->N\Rightarrow \; <!--\; rightwards\; double\; arrow\; -->\left|\sqrt{a_n}-\sqrt{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\right|<\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}$

   すなわち

   $\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }\sqrt{a_n}=\sqrt{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}$

   が成り立つ。

   （証明終）