数学 - 代数学 - 群 - 群とその例(可換群、十分条件、二乗、単位元)

代数系入門

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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(群)、2(群とその例)、問題7.を取り組んでみる。

7. 
   

   a、 b を群 G の任意の元とする。

   $\begin{array}{}{a}^2=e\\ a^{-1}\left(aa\right)=a^{-1}e\\ \left(a^{-1}a\right)a=a^{-1}\\ ea=a^{-1}\\ a=a^{-1}\end{array}$

   同様にして、

   $b=b^{-1}$

   また、

   $\begin{array}{}{\left(ab\right)}^2=e\\ \left(ab\right)\left(ab\right)=e\\ \left(a^{-1}b\right)\left(a{b}^{-1}\right)=e\\ a\left(a^{-1}b\right)\left(a{b}^{-1}\right)b=aeb\\ ba=ab\end{array}$

   よって、 G は可換群である。