数学 - 代数学 - 群 - 群とその例(可換群、十分条件、自身が逆元であること、単位元)

代数系入門

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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(群)、2(群とその例)、問題7.を取り組んでみる。

7. 
   

   a、 b を群 G の任意の元とする。

   $\begin{array}{}\left(ab\right)\left(ab\right)=e\\ \left(ab\right)\left(ab\right)b^{-1}=b^{-1}\\ aba=b^{-1}\\ ab=b^{-1}{a}^{-1}\end{array}$

   また、

   $\begin{array}{}aa=e\\ bb=e\end{array}$

   よって、

   $\begin{array}{}{a}^{-1}=a\\ b^{-1}=b\end{array}$

   ゆえに、

   $ab=b^{-1}{a}^{-1}=ba$

   以上より、群 G は可換群である。