数学 - 代数学 - 群 - 群とその例(空でない集合、有限集合、結合的な乗法、単射、全射、全単射)

代数系入門

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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(群)、2(群とその例)、問題4.を取り組んでみる。

4. 
   

   G は空でない集合なので、 a を G の任意の元とする。

   G から G への写像を

   $\begin{array}{}f:G\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->G\\ f\left(x\right)=ax\end{array}$

   と定義する。

   このとき、

   $\begin{array}{}f\left(x\right)=ax\\ f\left(y\right)=ay\\ f\left(x\right)=f\left(y\right)\\ ax=ay\\ x=y\end{array}$

   f は単射である。

   また、 G は有限集合なので、 f は全射である。

   よって、 f は全射射である。

   ゆえに、 G の任意の元 a、 b に対して、

   $ax=b$

   となる G の元 x が存在する。

   同様に、

   $xa=b$

   となる x が存在する。

   以上と問題3 より G は群である。

   （証明終）