数学 - Python - 線型代数 - 固有値と固有ベクトル - 固有空間(1次独立な固有ベクトル、3次、固有多項式(特性多項式)、対角化可能)

線型代数入門

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  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第7章(固有値と固有ベクトル)、5(固有空間)、問題1.を取り組んでみる。

1. 
   

   固有多項式。

   $\begin{array}{}\det \left(\begin{array}{ccc}x& -1& -1\\ 4& x-4& -2\\ -2& 1& x-1\end{array}\right)\\ =x\left(x-4\right)\left(x-1\right)-4-4-2\left(x-4\right)+4\left(x-1\right)+2x\\ =x\left(x-4\right)\left(x-1\right)+4\left(x-1\right)\\ =\left(x^2-4x-4\right)\left(x-1\right)\\ ={\left(x-2\right)}^2\left(x-1\right)\end{array}$

   固有値は2、 1。

   それぞれの固有値に対する固有ベクトル。

   $\begin{array}{}2a-b-c=0\\ 4a-2b-2c=0\\ -2a+b+c=0\\ a=1,b=1,c=1\\ a=0,b=1,c=-1\\ \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -1\end{array}\right)\\ a-b-c=0\\ 4a-3b-2c=0\\ -2a+b=0\\ b=2a\\ -a-c=0\\ a=1,b=2,c=-1\\ \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -1\end{array}\right)\end{array}$

   対角化可能なことを確認。

   $\begin{array}{}P=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 1& 2\\ 1& -1& -1\end{array}\right)\\ {\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}}_{11}=-1+2=1\\ {\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}}_{12}=-\left(-1-2\right)=3\\ {\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}}_{13}=-1-1=-2\\ {\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}}_{21}=-1\\ {\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}}_{22}=-1-1=-2\\ {\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}}_{23}=1\\ {\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}}_{31}=-1\\ {\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}}_{32}=-\left(2-1\right)=-1\\ {\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}}_{33}=1\\ \det P\\ =\left(-1-1\right)-\left(1-2\right)\\ =-1\\ P^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ -3& 2& 1\\ 2& -1& -1\end{array}\right)\\ P^{-1}AP\\ =\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ -3& 2& 1\\ 2& -1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ -4& 4& 2\\ 2& -1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 1& 2\\ 1& -1& -1\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{ccc}-2& 2& 2\\ -6& 4& 2\\ 2& -1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 1& 2\\ 1& -1& -1\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, I

print('1.')

A = Matrix([[0, 1, 1],
            [-4, 4, 2],
            [2, -1, 1]])
P = Matrix([[1, 0, 1],
            [1, 1, 2],
            [1, -1, -1]])

for t in [A, P, P ** -1, P ** -1 * A * P]:
    pprint(t.expand())
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample4.py
4.
(a)
⎡0  0  1⎤
⎢       ⎥
⎢0  2  0⎥
⎢       ⎥
⎣3  0  0⎦

⎡√3  -√3  0⎤
⎢          ⎥
⎢0    0   1⎥
⎢          ⎥
⎣3    3   0⎦

⎡ √3         ⎤
⎢ ──   0  1/6⎥
⎢ 6          ⎥
⎢            ⎥
⎢-√3         ⎥
⎢────  0  1/6⎥
⎢ 6          ⎥
⎢            ⎥
⎣ 0    1   0 ⎦

⎡√3   0   0⎤
⎢          ⎥
⎢0   -√3  0⎥
⎢          ⎥
⎣0    0   2⎦


(b)
⎡1   3   5⎤
⎢         ⎥
⎢0   1   0⎥
⎢         ⎥
⎣-2  -2  3⎦

⎡-8  1 - 3⋅ⅈ  1 + 3⋅ⅈ⎤
⎢                    ⎥
⎢5      0        0   ⎥
⎢                    ⎥
⎣-3     2        2   ⎦

⎡ 0      1/5       0   ⎤
⎢                      ⎥
⎢ ⅈ   3    13⋅ⅈ  1   ⅈ ⎥
⎢ ─   ── + ────  ─ - ──⎥
⎢ 6   20    60   4   12⎥
⎢                      ⎥
⎢-ⅈ   3    13⋅ⅈ  1   ⅈ ⎥
⎢───  ── - ────  ─ + ──⎥
⎣ 6   20    60   4   12⎦

⎡1     0        0   ⎤
⎢                   ⎥
⎢0  2 + 3⋅ⅈ     0   ⎥
⎢                   ⎥
⎣0     0     2 - 3⋅ⅈ⎦


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