数学 - Python - 線型代数 - 固有値と固有ベクトル - 固有多項式(特性多項式)(3次)

線型代数入門

学習環境

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第7章(固有値と固有ベクトル)、2(固有多項式(特性多項式))、問題5-(e)、(f)、(g)、(h).を取り組んでみる。

5. 
   
   5. 
      
      $\begin{array}{}\det \left(\begin{array}{ccc}x-2& -4& -1\\ 0& x+1& 3\\ 0& 0& x\end{array}\right)\\ =x\left(x-2\right)\left(x+1\right)\end{array}$
   6. 
      
      $\begin{array}{}\det \left(\begin{array}{ccc}x& 0& -1\\ -1& x& 0\\ 0& -1& x\end{array}\right)\\ =x^3-1\end{array}$
   7. 
      
      $\begin{array}{}\det \left(\begin{array}{ccc}x-1& 0& 0\\ 2& x-2& 3\\ 0& -3& x-2\end{array}\right)\\ =\left(x-1\right){\left(x-2\right)}^2+9\left(x-1\right)\\ =\left(x-1\right)\left(x^2-4x+4+9\right)\\ =\left(x-1\right)\left(x^2-4x+13\right)\end{array}$
   8. 
      
      $\begin{array}{}\det \left(\begin{array}{ccc}x-5& 6& 6\\ 1& x-4& -2\\ -3& 6& x+4\end{array}\right)\\ =\left(x-5\right)\left(x-4\right)\left(x+4\right)+36+36-\left(-12\left(x-5\right)+6\left(x+4\right)-18\left(x-4\right)\right)\\ =\left(x-5\right)\left(x^2-16\right)+72+12x-60-6x-24+18x-72\\ =x^3-5x^2+\left(-16+12-6+18\right)x-84+80\\ =x^3-5x^2+8x-4\\ =\left(x-1\right)\left(x^2-4x+4\right)\\ =\left(x-1\right){\left(x-2\right)}^2\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, I
import random

print('5.')

x = symbols('x')


def g(i, j):
    if i == j:
        return 1
    return 0


def f(n, A):
    In = Matrix([[g(i, j) for j in range(n)]
                 for i in range(n)])
    return (x * In - A)


ms = [[[2, 4, 1],
       [0, -1, - 3],
       [0, 0, 0]],
      [[0, 0, 1],
       [1, 0, 0],
       [0, 1, 0]],
      [[1, 0, 0],
       [-2, 2, -3],
       [0, 3, 2]],
      [[5, -6, -6],
       [-1, 4, 2],
       [3, -6, -4]]]


for i, m in enumerate(ms):
    print(f'({chr(ord("e") + i)})')
    m = Matrix(m)
    d = f(3, m).det()
    for t in [m, f(3, m), d.expand(), d.simplify(), d.factor()]:
        pprint(t)
        print()
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample6.py
5.
(e)
⎡2  4   1 ⎤
⎢         ⎥
⎢0  -1  -3⎥
⎢         ⎥
⎣0  0   0 ⎦

⎡x - 2   -4    -1⎤
⎢                ⎥
⎢  0    x + 1  3 ⎥
⎢                ⎥
⎣  0      0    x ⎦

 3    2      
x  - x  - 2⋅x

x⋅(x - 2)⋅(x + 1)

x⋅(x - 2)⋅(x + 1)


(f)
⎡0  0  1⎤
⎢       ⎥
⎢1  0  0⎥
⎢       ⎥
⎣0  1  0⎦

⎡x   0   -1⎤
⎢          ⎥
⎢-1  x   0 ⎥
⎢          ⎥
⎣0   -1  x ⎦

 3    
x  - 1

 3    
x  - 1

        ⎛ 2        ⎞
(x - 1)⋅⎝x  + x + 1⎠


(g)
⎡1   0  0 ⎤
⎢         ⎥
⎢-2  2  -3⎥
⎢         ⎥
⎣0   3  2 ⎦

⎡x - 1    0      0  ⎤
⎢                   ⎥
⎢  2    x - 2    3  ⎥
⎢                   ⎥
⎣  0     -3    x - 2⎦

 3      2            
x  - 5⋅x  + 17⋅x - 13

             2            
9⋅x + (x - 2) ⋅(x - 1) - 9

        ⎛ 2           ⎞
(x - 1)⋅⎝x  - 4⋅x + 13⎠


(h)
⎡5   -6  -6⎤
⎢          ⎥
⎢-1  4   2 ⎥
⎢          ⎥
⎣3   -6  -4⎦

⎡x - 5    6      6  ⎤
⎢                   ⎥
⎢  1    x - 4   -2  ⎥
⎢                   ⎥
⎣ -3      6    x + 4⎦

 3      2          
x  - 5⋅x  + 8⋅x - 4

 3      2          
x  - 5⋅x  + 8⋅x - 4

       2        
(x - 2) ⋅(x - 1)


$