学習環境
- Surface Go、タイプ カバー、ペン(端末)
- Windows 10 Pro (OS)
- Nebo(Windows アプリ)
- iPad Pro + Apple Pencil
- MyScript Nebo(iPad アプリ(iOS))
- 参考書籍
線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第7章(固有値と固有ベクトル)、4(対角化の条件)、問題4-(a)、(b).を取り組んでみる。
det(x0-10x-20-30x)=x2(x-2)-3(x-2)=(x2-3)(x-2)よって固有値は、
±√3,2固有ベクトルを求める。
±√3a-c=0(±√3-2)b=0-3a±√3c=0b=0,a=±√3,c=3(±√303)2a-c=0-3a+2c=0a=0,c=0(010)問題の行列は対角化可能で、対角化する正則行列は、
P=(√3-√30001330)- det(x-1-3-50x-1022x-3)=(x-1)2(x-3)+10(x-1)=(x-1)(x2-4x+3+10)=(x-1)(x2-4x+13)4-13=-9<0
よって、実数においては対角化可能ではない。
複素数においては対角化可能。
固有値、固有ベクトルを求める。
x=1,2±3i-3b-5c=02a+2b-2c=0c=-35b2a+2b+65b=0a=12(-2b-65b)(-85-3)(1±3i)b=02a+2b+(-1±3i)c=0b=0(1±3i)a-5c=02a+(-1±3i)c=0a=1∓3i,c=2(1∓3i02)よって、対角化する正則行列は、
P=(-81-3i1+3i500-322)
コード(Emacs)
Python 3
#!/usr/bin/env python3 from sympy import pprint, symbols, Matrix, I, sqrt print('4.') As = [Matrix([[0, 0, 1], [0, 2, 0], [3, 0, 0]]), Matrix([[1, 3, 5], [0, 1, 0], [-2, -2, 3]])] Ps = [Matrix([[sqrt(3), -sqrt(3), 0], [0, 0, 1], [3, 3, 0]]), Matrix([[-8, 1 - 3 * I, 1 + 3 * I], [5, 0, 0], [-3, 2, 2]])] for i, (A, P) in enumerate(zip(As, Ps)): print(f'({chr(ord("a") + i)})') for t in [A, P, P ** -1, P ** -1 * A * P]: pprint(t.expand()) print() print()
入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))
$ ./sample4.py 4. (a) ⎡0 0 1⎤ ⎢ ⎥ ⎢0 2 0⎥ ⎢ ⎥ ⎣3 0 0⎦ ⎡√3 -√3 0⎤ ⎢ ⎥ ⎢0 0 1⎥ ⎢ ⎥ ⎣3 3 0⎦ ⎡ √3 ⎤ ⎢ ── 0 1/6⎥ ⎢ 6 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢-√3 ⎥ ⎢──── 0 1/6⎥ ⎢ 6 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0 1 0 ⎦ ⎡√3 0 0⎤ ⎢ ⎥ ⎢0 -√3 0⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 0 2⎦ (b) ⎡1 3 5⎤ ⎢ ⎥ ⎢0 1 0⎥ ⎢ ⎥ ⎣-2 -2 3⎦ ⎡-8 1 - 3⋅ⅈ 1 + 3⋅ⅈ⎤ ⎢ ⎥ ⎢5 0 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣-3 2 2 ⎦ ⎡ 0 1/5 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⅈ 3 13⋅ⅈ 1 ⅈ ⎥ ⎢ ─ ── + ──── ─ - ──⎥ ⎢ 6 20 60 4 12⎥ ⎢ ⎥ ⎢-ⅈ 3 13⋅ⅈ 1 ⅈ ⎥ ⎢─── ── - ──── ─ + ──⎥ ⎣ 6 20 60 4 12⎦ ⎡1 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢0 2 + 3⋅ⅈ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 0 2 - 3⋅ⅈ⎦ $
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