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2018年9月18日火曜日

学習環境

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第7章(固有値と固有ベクトル)、4(対角化の条件)、問題4-(a)、(b).を取り組んでみる。



    1. det(x0-10x-20-30x)=x2(x-2)-3(x-2)=(x2-3)(x-2)

      よって固有値は、

      ±3,2

      固有ベクトルを求める。

      ±3a-c=0(±3-2)b=0-3a±3c=0b=0,a=±3,c=3(±303)2a-c=0-3a+2c=0a=0,c=0(010)

      問題の行列は対角化可能で、対角化する正則行列は、

      P=(3-30001330)

    2. det(x-1-3-50x-1022x-3)=(x-1)2(x-3)+10(x-1)=(x-1)(x2-4x+3+10)=(x-1)(x2-4x+13)4-13=-9<0

      よって、実数においては対角化可能ではない。

      複素数においては対角化可能。

      固有値、固有ベクトルを求める。

      x=1,2±3i-3b-5c=02a+2b-2c=0c=-35b2a+2b+65b=0a=12(-2b-65b)(-85-3)(1±3i)b=02a+2b+(-1±3i)c=0b=0(1±3i)a-5c=02a+(-1±3i)c=0a=13i,c=2(13i02)

      よって、対角化する正則行列は、

      P=(-81-3i1+3i500-322)

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, I, sqrt

print('4.')

As = [Matrix([[0, 0, 1],
              [0, 2, 0],
              [3, 0, 0]]),
      Matrix([[1, 3, 5],
              [0, 1, 0],
              [-2, -2, 3]])]
Ps = [Matrix([[sqrt(3), -sqrt(3), 0],
              [0, 0, 1],
              [3, 3, 0]]),
      Matrix([[-8, 1 - 3 * I, 1 + 3 * I],
              [5, 0, 0],
              [-3, 2, 2]])]

for i, (A, P) in enumerate(zip(As, Ps)):
    print(f'({chr(ord("a") + i)})')
    for t in [A, P, P ** -1, P ** -1 * A * P]:
        pprint(t.expand())
        print()
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample4.py
4.
(a)
⎡0  0  1⎤
⎢       ⎥
⎢0  2  0⎥
⎢       ⎥
⎣3  0  0⎦

⎡√3  -√3  0⎤
⎢          ⎥
⎢0    0   1⎥
⎢          ⎥
⎣3    3   0⎦

⎡ √3         ⎤
⎢ ──   0  1/6⎥
⎢ 6          ⎥
⎢            ⎥
⎢-√3         ⎥
⎢────  0  1/6⎥
⎢ 6          ⎥
⎢            ⎥
⎣ 0    1   0 ⎦

⎡√3   0   0⎤
⎢          ⎥
⎢0   -√3  0⎥
⎢          ⎥
⎣0    0   2⎦


(b)
⎡1   3   5⎤
⎢         ⎥
⎢0   1   0⎥
⎢         ⎥
⎣-2  -2  3⎦

⎡-8  1 - 3⋅ⅈ  1 + 3⋅ⅈ⎤
⎢                    ⎥
⎢5      0        0   ⎥
⎢                    ⎥
⎣-3     2        2   ⎦

⎡ 0      1/5       0   ⎤
⎢                      ⎥
⎢ ⅈ   3    13⋅ⅈ  1   ⅈ ⎥
⎢ ─   ── + ────  ─ - ──⎥
⎢ 6   20    60   4   12⎥
⎢                      ⎥
⎢-ⅈ   3    13⋅ⅈ  1   ⅈ ⎥
⎢───  ── - ────  ─ + ──⎥
⎣ 6   20    60   4   12⎦

⎡1     0        0   ⎤
⎢                   ⎥
⎢0  2 + 3⋅ⅈ     0   ⎥
⎢                   ⎥
⎣0     0     2 - 3⋅ⅈ⎦


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