数学 - 線形代数学 - 群 – 群とその実例(対称群、置換群の一般化、全単射、可逆写像の群)

ラング線形代数学(下)
原著

学習環境

• Surface Go、タイプ カバー、ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

ラング線形代数学(下)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の14章(群)、1(群とその実例)、練習問題4.を取り組んでみる。

4. 
   

   f、 g、 h を G の任意の元とする。

   全射単の全成写係は全単射なので、

   $g\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->f\in \; <!--\; element\; of\; -->G$

   写像の結合性より、

   $\left(h\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->g\right)\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->f=h\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->\left(g\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->f\right)$

   id を恒等写像とすれば、

   $\begin{array}{}id\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->f=f\\ f\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->id=f\end{array}$

   よって id を単位元とする。

   f は全単的なので逆写像が存在する。

   $\begin{array}{}f\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->f^{-1}=id\\ f^{-1}\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->f=id\end{array}$

   よって、 G は群である。