数学 - 代数学 - 群 - 部分群と生成系(2つの生成元、位数4の群、全ての部分群の決定)

代数系入門
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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(群)、3(部分群と生成系)、問題8.を取り組んでみる。

8. 
   
   $S=\left\{\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->},\mathrm{\tau \; <!--\; greek\; small\; letter\; tau\; -->}\right\}$

   とおく。

   ${\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}}^2={\mathrm{\tau \; <!--\; greek\; small\; letter\; tau\; -->}}^2=e$

   より、

   ${\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}}^{-1}=\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->},{\mathrm{\tau \; <!--\; greek\; small\; letter\; tau\; -->}}^{-1}=\mathrm{\tau \; <!--\; greek\; small\; letter\; tau\; -->}$

   よって、

   $S\cup \; <!--\; union\; -->S^{-1}=\left\{\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->},\mathrm{\tau \; <!--\; greek\; small\; letter\; tau\; -->}\right\}$

   S によって 生成される G の元は、

   $e,\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}\mathrm{\tau \; <!--\; greek\; small\; letter\; tau\; -->},\mathrm{\tau \; <!--\; greek\; small\; letter\; tau\; -->}\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}=\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}\mathrm{\tau \; <!--\; greek\; small\; letter\; tau\; -->},\mathrm{\tau \; <!--\; greek\; small\; letter\; tau\; -->}$
   • て、 S の生成系 H は
   $H=\left\{e,\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->},\mathrm{\tau \; <!--\; greek\; small\; letter\; tau\; -->},\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}\mathrm{\tau \; <!--\; greek\; small\; letter\; tau\; -->}\right\}$

   となる。

   これは位数4の G の部分群である。

   H のすべての部分群を求める。

   位数1の部分群。

   $\left\{e\right\}$

   位数4の計分群。

   $H$

   位数2の部分群。

   $\left\{e,\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}\right\},\left\{e,\mathrm{\tau \; <!--\; greek\; small\; letter\; tau\; -->}\right\},\left\{e,\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}\mathrm{\tau \; <!--\; greek\; small\; letter\; tau\; -->}\right\}$

   位数3の部分群 は存在しない。

   $\begin{array}{}\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}\mathrm{\tau \; <!--\; greek\; small\; letter\; tau\; -->}\notin \; <!--\; not\; an\; element\; of\; -->\left\{e,\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->},\mathrm{\tau \; <!--\; greek\; small\; letter\; tau\; -->}\right\}\\ \mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}\left(\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}\mathrm{\tau \; <!--\; greek\; small\; letter\; tau\; -->}\right)={\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}}^2\mathrm{\tau \; <!--\; greek\; small\; letter\; tau\; -->}=\mathrm{\tau \; <!--\; greek\; small\; letter\; tau\; -->}\notin \; <!--\; not\; an\; element\; of\; -->\left\{e,\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->},\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}\mathrm{\tau \; <!--\; greek\; small\; letter\; tau\; -->}\right\}\\ \left(\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}\mathrm{\tau \; <!--\; greek\; small\; letter\; tau\; -->}\right)\mathrm{\tau \; <!--\; greek\; small\; letter\; tau\; -->}=\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}{\mathrm{\tau \; <!--\; greek\; small\; letter\; tau\; -->}}^2=\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}\notin \; <!--\; not\; an\; element\; of\; -->\left\{e,\mathrm{\tau \; <!--\; greek\; small\; letter\; tau\; -->},\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}\mathrm{\tau \; <!--\; greek\; small\; letter\; tau\; -->}\right\}\end{array}$

   よって、 S によって 生成される部分群 H のすべての部分群は、

   $\left\{e\right\},\left\{e,\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}\right\},\left\{e,\mathrm{\tau \; <!--\; greek\; small\; letter\; tau\; -->}\right\},\left\{e,\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}\mathrm{\tau \; <!--\; greek\; small\; letter\; tau\; -->}\right\},\left\{e,\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->},\mathrm{\tau \; <!--\; greek\; small\; letter\; tau\; -->},\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}\mathrm{\tau \; <!--\; greek\; small\; letter\; tau\; -->}\right\}$

   に決定。