数学 - 代数学 - 群 - 部分群と生成系(二つの生成系と部分群、可換律)

代数系入門
楽天ブックス(Kobo)

学習環境

• Surface Go、タイプ カバー、ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo))
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo))
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo))

代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(群)、3(部分群と生成系)、問題6.を取り組んでみる。

6. 
   

   x を H の任意の元、 y を H'の任意の元とする。

   $\begin{array}{}x=\underset{i=1}{\overset{n}{\prod \; <!--\; n-ary\; product\; -->}}{x}_i\left(x_i\in \; <!--\; element\; of\; -->S\cup \; <!--\; union\; -->S^{-1}\right)\\ y=\underset{i=1}{\overset{m}{\prod \; <!--\; n-ary\; product\; -->}}{y}_j\left(y_j\in \; <!--\; element\; of\; -->S\text{'}\cup \; <!--\; union\; -->{\left(S\text{'}\right)}^{-1}\right)\end{array}$

   また、任意の

   $a\in \; <!--\; element\; of\; -->S^{-1},b\in \; <!--\; element\; of\; -->S\text{'}$

   について、

   $\begin{array}{}{a}^{-1}\in \; <!--\; element\; of\; -->S\\ ab\\ =b{b}^{-1}ab{a}^{-1}a\\ =b{b}^{-1}a{a}^{-1}ba\\ =b{b}^{1}ba\\ =ba\end{array}$

   よって可換。

   同様に、 任意の

   $a\in \; <!--\; element\; of\; -->S,b\in \; <!--\; element\; of\; -->{\left(S\text{'}\right)}^{-1}$

   に対して可換。

   よって、

   $\begin{array}{}xy=x_1·\; <!--\; middle\; dot\; -->\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->·\; <!--\; middle\; dot\; -->x_n,y_1·\; <!--\; middle\; dot\; -->\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->·\; <!--\; middle\; dot\; -->y_m\\ =x_1·\; <!--\; middle\; dot\; -->\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->·\; <!--\; middle\; dot\; -->y_1·\; <!--\; middle\; dot\; -->x_n·\; <!--\; middle\; dot\; -->y_2·\; <!--\; middle\; dot\; -->\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->·\; <!--\; middle\; dot\; -->y_m\\ ⋮\; <!--\; vertical\; ellipsis\; -->\\ =y_1{x}_1·\; <!--\; middle\; dot\; -->\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->·\; <!--\; middle\; dot\; -->x_n·\; <!--\; middle\; dot\; -->y_2·\; <!--\; middle\; dot\; -->\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->·\; <!--\; middle\; dot\; -->y_m\end{array}$

   のように 続けていけば、

   $xy=yx$

   となるので、 H の任意の元と H'の任意の元は可換である。

   （証明終）