数学 - 代数学 - 群 - 部分群と生成系(空でない可換な部分集合によって生成される部分群)

代数系入門
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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(群)、3(部分群と生成系)、問題7.を取り組んでみる。

7. 
   

   a、 b を S によって生成される G の部分群の 任意の2元とする。

   $\begin{array}{}x=\underset{i=1}{\overset{n}{\prod \; <!--\; n-ary\; product\; -->}}{x}_i\\ y=\underset{j=1}{\overset{m}{\prod \; <!--\; n-ary\; product\; -->}}{y}_j\\ \left(x_i,y_j\in \; <!--\; element\; of\; -->S\cup \; <!--\; union\; -->S^{-1}\right)\end{array}$

   a、 b をそれぞれ

   $S,S^{-1}$

   の任意の元とする。

   このとき、

   $\begin{array}{}{b}^{-1}\in \; <!--\; element\; of\; -->S\\ ab\\ =b{b}^{-1}ab{a}^{-1}a\\ =ba{b}^{-1}b{a}^{-1}a\\ =ba\end{array}$

   よって、可換である。

   a、 b をともに

   $S^{-1}$

   の任意の元とすると、

   $\begin{array}{}{a}^{-1},b^{-1}\in \; <!--\; element\; of\; -->S\\ ab\\ =b{b}^{-1}ab{a}^{-1}a\\ =ba{b}^{-1}b{a}^{-1}a\\ =ba\end{array}$

   よって可換である。

   ゆえに、

   $xy=yx$

   すなわち S によって生成される G の部分群は可換群である。

   （証明終）