数学 - 代数学 - 群 - 部分群と生成系(部分群の共通部分、部分群の判定)

代数系入門

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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(群)、3(部分群と生成系)、問題1.を取り組んでみる。

1. 
   
   $H_1,H_2$

   はともに群 G の部分君なので、共に単位元を含むので、

   $e\in \; <!--\; element\; of\; -->H_1\cap \; <!--\; intersection\; -->H_2$

   a、 b を共通部分のに任意の元とすると、

   $a,b\in \; <!--\; element\; of\; -->H_1$

   よって、

   $ab\in \; <!--\; element\; of\; -->H_1$

   同様に、

   $ab\in \; <!--\; element\; of\; -->H_2$

   また、

   $a^{-1}\in \; <!--\; element\; of\; -->H_1,a^{-1}\in \; <!--\; element\; of\; -->H_2$

   となるので、

   $a^{-1}\in \; <!--\; element\; of\; -->H_1\cap \; <!--\; intersection\; -->H_2$

   よって、群 G の2つの部分群の共通部分も G の部分群である。